假设有个游戏，你可以无偿获得五千元，但有百万分之一的几率会当场毙命。那么你会玩多少次游戏？

pc8888888 · 发表于 2021-9-4 15:41

我和一个朋友今天在讨论这个问题。我的想法是玩一千次赚五百万收手(毕竟丧命的几率微乎其微)。而我朋友竟然很认真的说他一次都不会玩。理由是几率再小也是有可能丧命。我觉得他真的挺奇葩的，毕竟我俩大学学的是经济学都了解概率学。想知道大家是怎么看待这个问题的。
截止3月29日，在49个回答中，有30个回答比较明确的表明自己是否会玩这个游戏。其中16个回答(53.3%)表示会玩。14个回答(46.7%)表示不会玩。在表示不会玩的回答中，有11个回答(78.6%)的理由是生命太过可贵，不值得冒险，3个回答(21.4%)的理由是赌徒心理，怕自己停不下来。
原来预估至少90%的人会玩这个游戏，看来还是我太naive了。
把这个问题和电车难题结合出来一个新问题：
https://www.zhihu.com/question/319004711

DungDaj · 发表于 2021-9-4 15:50

这是个早有定论的问题，从上世纪70年代起，斯坦福大学的研究团队就对此进行了专门的研究。
百万分之一的死亡几率，学术上有一个专门的计量单位叫做micromort，记作μmt，构词法是英文micro（百万分之一）和mortality（致命）。
1 μmt = 百万分之一的死亡几率。
那么题主的问题其实就是
用1 micromort为代价换取5000元是否值得？
这里我可以直接回答你，对地球上绝大多数人来说，非常值得。这个游戏需要大玩特玩，玩到你财富自由为止。
即使在发达国家，市面上的 1 μmt价格远远没有到5000元这个量级。
英国交通部的预防致死性伤害价格（VPF Value for Preventing a Fatality）大约是160万英镑，也就是说，英国人1 μmt的市价大约是1.6英镑，约合十几块人民币。
美国政府的VPF更高一些，达到了620万美金，那么减少1 μmt也就花费6.2美金，约合四十多人民币。
由于人类对自己生命比较看重，降低micromort的接收意愿一般低于政府的支付意愿，根据医学决策的各类长期分析，美国人为了降低自己本人1 μmt所愿意支付的价格，在2009年大约是50美金。因此，5000元/μmt不论从任何角度看，都是极好的买卖。
实际上，我们每天都在承受一定量的micromort。
1 μmt的风险大约等于：
坐摩托车9公里
步行27公里
乘坐自行车16公里
乘坐汽车370公里
乘坐飞机1700公里
活在空气污染较高城市12小时

游泳一次的风险有12 μmt，打美式橄榄球一次约为20μmt，你出生第一天就承受了170μmt，而当你活到80岁，你只要每多活一天，就有423 μmt的风险。
攀登珠峰的风险为37932μmt；
随便评论女朋友的体重给你带来的micromort目测大约在七千多亿，上下浮动3.1 μmt。

你看看帅入膏肓的我，颜粉太多经常导致我呼吸不畅，每天出门都承受巨量的micromort，不还是坚强的生存了下来？
毕竟，在中国连A股都有人敢买，5000一次micromort题主大可以玩到尽兴为止，比996的风险小多了。

zt3ff3n · 发表于 2021-9-4 15:54

用R语言写了个程序模拟一下。
找来100个人，玩这个游戏，看看他们都能玩多少次。
当然，数字是随机的，每次结果都不一样。这里随便运行一次看看结果：
得到的值如下：

看起来很抽象，看看这100个人中的描述性分析数据：
>最小次数
[1] 10771
>最大次数
[1] 5308927
> 中位数
[1] 677303.5
做个图看看：

排序看看：

图中，最小值是10771次。
也就是说，在这100个人里面，最倒霉的那个人在玩过了1万多次后，不幸遇难了。
而最幸运的那个，可以连续玩530万次。
这100个人里面的中位数是67万多次，即有接近一半的人能玩70万次左右而不挂掉。
-----------------分割线-------------
# 假设这群人每个月想得到1万元
# 也就是说，这群人每个月玩2次，
# 看看这群人，大概都能玩多少年
> 最少年数
[1] 448.7917
>最大年数
[1] 221205.3
额，最早的在玩了448年后，会在玩游戏时当场毙命。最长的要玩22万年才game over。
看来，一般人没事。每个月1万，问题不大。
每个月一万，448年什么概念呢？我们熟悉的大明王朝1566发生在大概448年前左右。

还是有点抽象：

也就是一个人一直玩，正常挂掉了，把这个机会留个儿子继续玩，子子孙孙，一直到他孙子的孙子的孙子的，经过大约15代左右，才会因为玩着游戏发生人命案。注意，这是最倒霉的那个家伙。
如果最幸运的那个呢？额，221205年，

他可以玩22万年，什么概念呢？早期智人，生活于22万年前。如果这个游戏能一直作为传家宝传给下一代的话，那最幸运的那个把这个魔法传给下一代，那真是能子子孙孙一直传下去。也许到了某代，就要传给别人啦！因为一个家族的也很难保证在漫长的22万年内不灭灭亡呀！
-----------------分割线----------------------
贪婪点，每个月想拿10万，那每个月要20次才行呀！
# 假设这群人每个月想得到10万元
# 也就是说，这群人每个月要玩20次，
# 看看这群人，大概都能玩多少年
> 最短年数
[1] 44.87917
> 最长年数
[1] 22120.53
-----------分割线----------------------
#观察大家都在得到多少钱后game over的

>最少拿到的钱数
[1] 53850000
>最多拿到的钱数
[1] 26544630000
>中位数
[1] 3386512500
画个图看看

排序看看：

注意，图中最小值：53850000元
最倒霉的那个，在拿到5000万后，(被动)离开了。
有兴趣学习一下R语言吧
-------------------分割线-------------------------
附源代码：
# 你可以无偿获得五千元，
# 但有百万分之一的几率会当场毙命。
# 那么你会玩多少次这样的游戏？
# 知乎ID：DONT
# https://www.zhihu.com/people/lidayang

# 生成一个向量，包含999999个&#34;生&#34;,1个&#34;死&#34;
live<-rep(c(&#34;生&#34;),999999)
dead<-c(&#34;死&#34;)
r<-c(live,dead)

# 将上述r随机排序
i<-sample(1:1000000,1000000)
rand<-r
# 测试&#34;生/死&#34;个数及&#34;死&#34;位置
# sum(rand==&#34;生&#34;)
# sum(rand==&#34;死&#34;)
# which(rand==&#34;死&#34;)
# rand[which(rand==&#34;死&#34;)]

#开始游戏啦
gn<-10000000  #迭代次数
n<-100 #参与人数
money<-c()
times<-c()
for(i in 1:n){
  game<-sample(rand,gn,replace = TRUE)
  t<-which(game==&#34;死&#34;)[1]
  m=5000*(t-1)
  times<-c(times,t)
  money<-c(money,m)
}
# 看看这群人，大概都能玩多少次
times
min(times)
max(times)
median(times)
library(RColorBrewer)
cn<-100
color<-brewer.pal(cn,&#34;Set1&#34;)
barplot(times,col = color)
barplot(sort(times),col=color)
# 假设一群人每个月想得到1万元
# 也就是说，这群人每个月玩2次，
# 看看这群人，大概都能玩多少年
times
min(times)/(2*12)
max(times)/(2*12)
# 假设一群人每个月想得到10万元
# 也就是说，这群人每个月玩20次，
# 看看这群人，大概都能玩多少年
times
min(times)/(20*12)
max(times)/(20*12)
#观察大家都在得到多少钱后牺牲的
money
min(money)
max(money)
median(money)
barplot(money,col=color)
barplot(sort(money),col=color)
我觉得 <a class="member_mention" href="http://www.zhihu.com/people/ac5771bfbfd41a136a348f087d585e4b" data-hash="ac5771bfbfd41a136a348f087d585e4b" data-hovercard="p$b$ac5771bfbfd41a136a348f087d585e4b">@维新思维  的想法不错，其实不需要参与那么多次，赚够了，离场就行啦。

其他关于概率的回答：
连续抛硬币，遇到“正反反”停止和遇到“正反正”停止，两种情况下抛硬币的平均次数是否相同？

franciscochonge · 发表于 2021-9-4 16:02

补充另一种更直观的比较：按20岁开始工作60岁退休计算，这40年你因交通事故去世的概率保守估计为：1-(1-万分之一)^40=0.4%，这相当于玩问题中的游戏：log(1-0.4%)/log(1-百万分之一)=4000次。玩4000次能白得2000万元，而累死累活工作40年的风险不但比玩4000次更高，并且除非你年薪50万以上，否则连这2000万都挣不到。
——————————
这正是我们的生活啊！！！而且比生活美好至少十倍……（没错，你每个月意外去世的概率至少是百万分之一的十倍，但绝大多数人根本拿不到五千块的十倍的月薪。）
比如说你每天上下班去工作，无论是步行骑车公交还是开车，都有一定的概率遇到交通事故而去世。
这个概率有多大呢？随便百度一下，排第一的结果是这个：
2017年，中国道路交通事故死亡人数到底是多少？看起来还算靠谱，我就不继续查证了。结合世界范围的情况，可以保守地说：
中国每年每10万人交通事故死亡人数大概在 10 人这个数量级。
也就是说，一个人每年之中大约有万分之一的概率因交通事故去世。
换算成每个月，中学数学题：1-(1-万分之一)^(1/12)=百万分之8.33，比百万分之一还高啊！
考虑到每年万分之一的交通事故死亡率很可能是低估的，且城市人口交通事故死亡率很可能高于农村，对于一个在城市里每天出门上下班的人来说，完全可以说每个月有十万分之一的概率因交通事故去世。比问题里的百万分之一要高一个数量级！生活比这个问题里的游戏危险十倍！
这还只是交通事故。其他意外多的是，更何况即使没有任何意外，一个人也有概率因生病或猝死之类的去世啊。
想想看：你，每天出门上班，每个月都有百万分之一的十倍的概率遭遇交通事故去世。而且你还得累死累活地工作，甚至加班熬夜996，然后每月拿着那么一点点工资！
生活中出门工作每个月去世的概率是这个游戏的十倍，工作的危险比起这个游戏扩大了十倍，可有几个人的月薪能达到游戏给的五千块的十倍，也就是月薪五万、年薪60万？在中国，甚至还有很多人连月薪五千块都拿不到！
然后有人问，百万分之一的概率去世，无偿得五千块？？？
首先，比起生活现实，百万分之一只是你每个月去世的概率的十分之一甚至几十分之一。其次，这五千块还是白拿的，不用上班干活听领导数落勾心斗角更不用996！
危险下降为十分之一，钱还是白拿的。你说，这个问题怎么回答？
我们每天不都在用生命来回答嘛……
——————————
如果你看完这个回答感到恐慌焦虑或者绝望，可以读读这个回答，相信可以解决一些关于“既然生活如此艰难那该怎么办”的困扰：
那些跳楼的名校博士们，为什么不退学？其实以前回答过一个类似的问题，涉及“如何给生命定价”，感兴趣的话戳这个链接：
左轮手枪装有一颗子弹，对着自己头开一枪奖励10万元，两枪1亿，三枪2亿，四枪4亿，5枪16亿，值得吗？——————————
本文收录于 @王绎心的列数据、摆资料、讲计算类“硬核”回答合集：数据才是硬道理，欢迎关注。
——————————
我的公众号“雨心亭”：yxt2114
比知乎更有趣、更有干货

LiteralliJeff · 发表于 2021-9-4 16:04

（上日报了，谢谢大家厚爱）
这个问题很有意思，花10分钟看完这个回答，你可能会从根本上改变你对这个问题的判断
和对人生的理解
以及顺便学点金融知识
一，玩多少次我会妥妥地挂掉？

这其实是一个简单的概率学问题
百万分之一的发生概率，也就是不发生的概率是99.9999%

我们先科普一下，假设A事件发生的概率是40%（那对应不发生的概率就是60%），B事件发生的概率是40%，那么A事件和B事件都发生的概率是多少呢（假设两者是独立事件，两者互不影响）？
答案是：40%*40%=16%

所以对于一系列独立事件而言，他们都发生的概率就是他们发生的概率的乘积
或者，同样的，他们都不发生的概率就是他们各自不发生概率相乘的积。

那么，回到这个问题，为了方便我们决策，我们可以先计算出连续尝试若干次（一千次、一万次）而不挂掉的概率是多少，我相信情况会更加明确。

假设，我们玩1000次，能够获利5000*1000=5000000，也就是500万元
那么玩1000次都不出事儿的概率是多少呢？99.9999%的1000次方，简单用计算器算一下，就可以得出下面这张作死的收益与对应出事儿概率的统计表。

可以看到，当我们玩这个游戏1000次时，我们能赚500万元，有99.9%的概率我们还活着
因为翻车的这个概率实在太低了，百万分之一
所以即使我们往后推算很多次，存活概率依然不小
比如我们为了赚2.5亿尝试了5万次时，我们有95%的概率还活着
99%和95%其实没有实质性差别，但收益从500万跳涨到了2.5亿

那当我们尝试多少次之后，我们的生还概率会低于10%呢？

也就是，我们如果连续尝试231万次，次次生还，依然健在的概率只有10%（原文有歧义，已更改），但这个时候，我们已经赚了115.25亿人民币，相当于马云2018年净资产的……6%
马云爸爸的钱是真的多啊

到底要什么时候急流勇退，悬崖勒马？

当然，概率和发生是两回事，这也就是我们金融上所说的风险
风险不是指会发生的坏事情，而是指坏事情发生的概率
正常情况下，我们所做的所有事情，都是有收益的，不然我们不会去做
正所谓天下熙熙，皆为利来；天下攘攘，皆为利往
但享受收益的同时，也会有风险
人有多大胆，地有多大产就是这个意思
就像我们买国债，会有利息，这是我们的收益；但我们也有本金损失的风险（我国政权灭亡、政府破产），但我国作为一个负责任的大国，这种情况发生的概率微乎其微，可以忽略，所以我们可以视国债的收益为无风险收益
但无风险的情况是极少且特殊的，而且因为没有风险，所以收益很低

正常情况下，收益越高，风险越大，相信看了上面那张表后，大家会有很直观的感受
大家在日常生活中，只要赚取收益，工作也好、存钱也好、买理财也好、买股票衍生品也好
都是为了赚取收益，但同时也会衡量风险，只是大家没有这么专业的知识，不会算的很清楚
但大家都明白，股市有风险，入市需谨慎。
朴素的风险控制意识，大家都有，只是强弱有别。

那收益多高算收益高呢？多大风险算风险大呢？
不同的人有不同的答案，这个在金融学中有个专业的形容词，叫风险偏好
为了便于理解，我们先忽略课本的概念，简化一下对风险偏好的描述。给大家一个直观印象
有人讨厌冒险，本能的会规避有风险的投资选择——比如直接不玩这个游戏，这种叫风险厌恶型投资者
有人觉得风险和收益匹配的前提下，为了更高的收益冒点风险也值得——比如 @孙瑞昊的回答，觉得玩1000次，能赚500万，99.9%的概率还活着，那就值得尝试，这是大多数人的状态。这叫风险中性型投资者。
当然，有厌恶就有喜好，世界上就有这么一群人，秉持富贵险中求的人生哲学，风险越高，越刺激，越爽，比如——赌徒。对于他们而言，如果收益足够高，哪怕只有10%的胜率，也会去博一次。这就是风险喜好型投资者。

所以什么时候急流勇退，金盆洗手，不同的人有不同的答案。

三、为什么这个问题下，风险厌恶者这么多？

正如题主总结的，原来预估至少90%的人会玩这个游戏
但实际上30个回答里有接近一半的人选择了不玩这个游戏
这明显不符合我们所说的，风险中性才是大多数人的常态的比例
为什么呢？
因为对于不同后果，大家会形成不同的风险偏好。
比如，如果这个问题的设置是，如果百万分之一的概率会损失所有所得，或者会损失1块钱
那么可以预期，大家都会选择玩到自己手断为止
但这个题目的不良后果设置是失去生命，对大多数人而言，在失去生命这个结果上，大部分人都是风险厌恶者。只要听到有生命危险，大家都会本能的退避三舍
所以，这个比例低于提问者预期，并不奇怪
因为大家都不愿意拿自己生命开玩笑，哪怕概率很低很低。

四、那要怎么提升大家参与的意愿呢？换个问法就可以

就像前面所说的，风险意识大家都有，但是绝大多数非金融经济相关专业的人
风险意识都很朴素，对于要承担多大的风险只有很模糊的概念
大家不仅对风险没有太具体的概念，对太高的收益也没有太具体的概念
#贫穷限制了我的想象系列#

一说到“你的生命会有危险”，大家会本能的规避，才会有40%多的答主选择敬而远之
但这主要是因为大多数人对于“百万分之一”这个概率，没有直观的认识
其实，百万分之一的概率，是非常非常非常非常低了。

如果我们把我们日常的事情列一个概率，我们会发现，我们每天都在冒着各种生命危险
大多数都不比百万分之一高

我们换个问法，如果给你5000块，让你坐一次飞机，你愿意吗？
或者给你2500万，让你打的200次，你愿意吗？
我相信没有几个人会说不愿意，毕竟，飞机是现目前最安全的交通工具
那飞机发生空难的概率是多大呢？最近5年，每百万个航班发生事故的5年均值为0.58次，也就是坐飞机不出事儿的概率是99.999942%——非常接近我们所说的，玩1次出事儿的概率99.9999%
遇到空难的概率有多大？
也就是说，你玩5000次都不出事儿的概率，和坐5000飞机都不出事儿的概率是几乎一样的
而坐车出事儿的概率有多高呢？我们简单粗暴地测算一下
根据交通部数据，我国万车死亡率2.2，也就是平均保有量每增加1万辆车，一年就会有2.2人死于交通事故，这还只是1年，是0.022%，按一辆车一年跑300天，一次搭载3人计算，每坐一次车，发生车祸的概率是0.0024%。
那坐/开200次车，不发生车祸的概率是99.5%；
而这个概率水平，对应到我们前面的表，大概就是2500万，玩5万次所需要承担的风险。

如果大家有了这个概念，不参与的比例还会这么低吗？相信不会

更不要说，那些擦高层建筑外玻璃墙的、开出租车的、扫大街的、当警察消防的，他们所冒的生命危险，从概率上说，远远高于百万分之一，但他们一辈子都赚不了2500万。
我们每天打车、坐地铁、赶公交、炒菜、逛街，这些看似平常的活动，其实都是有一定的概率出人命的，只是这个概率特别特别小，小到我们忽略了
但是就算这些概率再小，也不比百万分之一小多少
然而，你打车、坐地铁、炒菜、逛街一辈子，能赚2500万吗？

2500万什么概念？
500万的存款，理财得当就可以衣食无忧（每月躺着拿1万元的投资收益）
2500万的存款，光理财收益就可以吊打一线城市95%以上的工薪阶层
2500万存银行，4%收益率，一年是100万，存3年就可以在二线城市中心地段全款买房，如果拿来还房贷，可以支撑1400万的房贷，买2000万的房子。
上海平均月工资8000多，2500万需要不吃不喝地攒260年。
而你需要承担的，只不过是打车200次出事儿的风险

一些答主口口声声说，多少钱我都不会拿我的生命开玩笑，拒绝了2500万的诱惑
一边每天为了赚几千几万块钱，承受着更高的风险去打车赶公交赶高铁……
如果这么一对比，你还会去做吗？
反正我就想问——这种游戏在哪儿做？？
我能玩到你破产

===============更了个新===========
评论区很多朋友还是不太能够区分“条件概率”和“独立事件概率”的差别
和大家讨论讨论挺有意思的，概率学我也没怎么认真学过，友善探讨互惠互利

在这里稍微做一下科普吧，毕竟高中数学隔太久大家忘掉了也正常
港真，这玩意儿很抽象，且有的时候反直觉
搞混是常事
但非有一上来就义正言辞说我错了鄙视我的……昂……大哥你这又是何必……
Overconfidence也是金融学的大忌好么……

就拿高大上的伯努利试验（其实就是扔钢镚儿看正反面，伯努利这哥们儿叫的早，所以以他命名，占了个年纪大的便宜）来举例吧。

伯努利大哥扔了N多次硬币后，得出的结论是——不管之前扔了多少次，下一次的概率依然是正面50%，反面50%，哪怕前面扔的1000次，都是奇迹般地正面朝上，第1001次扔硬币，出现反面的概率仍然是50%。
简单的说，第一次和之后1万次、一亿次的扔硬币结果都是互不影响的，每一次扔硬币硬它都有自己的想法，大家是相互独立的，这是独立事件概率

但我们现在所要求的，不是独立事件的概率，而是由独立事件组成的连续事件中某个特定组合发生的概率
这完全就是两回事

这里我们用经典的二叉树模型做一次推导，为了简洁，我们只看连续扔三次，可能出现多少种情况（实际上是因为我懒）
第一次扔，有（正）（反）两种可能，各50%
第二次扔，有（正，正）（正，反）（反，正）（反，反）4种可能，这个时候连续两次为正的概率就只有4种中的1种，即25%
第三次扔，已经有了2的3次方也就是8种，分别为（正，正，正）（正，正，反）（正，反，正）（正，反，反）（反，正，正）（反，正，反）（反，反，正）（反，反，反），可以看到，连续三次为正的情况，在8种中只有1种，可能性是1/8=12.5%

如果正是生，反是死，那不管是3个人同时扔色子都活着，还是1个人扔了三次之后还活着的概率，都是12.5%

所以独立事件发生的概率不受之前发生的事情结果影响
但当所求的事件概率为一系列独立事件构成的整体事件中，某一条件发生的概率时，就需要叠加前面事件的概率，因为这是这个游戏仍然能继续进行的前提
比如本问题中，要赚2.5个亿，那就是连续5000次都生还的概率的乘积，中间任何一次，出现了没有生还的事件，都会让游戏者当场去世。那可能性就只有一种，就是5000次都生还，只有第一次，第二次都生还了，才有后续的可能。所以，连续生存5000轮，和连续生存2轮，存活率自然是不一样的。

有的答主非常机智，说，那我玩完100次之后，我决定不干，骗一下概率
然后我突然！决定再玩！概率不就重置变回百万分之一了吗？？
欺骗一时爽，一直欺骗一直爽

可是……你之前玩的那100次，虽然都活了下来，但每次都积累了挂掉的概率啊……你之所以玩了100次还能欺骗概率，欺骗硬币和伯努利，是因为你运气好玩了100次都没挂啊，风险并不会因为没有发生就消弭，也不会因为发生了之后就一路坦途，虽然可能有点反常识，但想要欺骗概率，恐怕不行。
其实，不管你骗不骗，你每次玩游戏，新开的那一局的概率都是百万分之一，不会变的……
而我们所追求的，每次玩都不出事的概率，随着游戏次数的增多，也还是不断变小的。

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感谢大家的热爱
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ChuanXin · 发表于 2021-9-4 16:09

游戏…

我曾经计算过缉毒警察年死亡率：百分之0.14。
一个受过国家警察训练的缉毒警察的工作有多危险？假如说，缉毒警每天都要出警一次，那么：
每天或者每次出警的死亡率是百万分之四。

这相当于，每一位缉毒警，每天，无论冬夏，都要按四次这个按钮。
工资，一天二三百吧。

maltadirk · 发表于 2021-9-4 16:18

高赞答案大多有些问题，这里略微正一下视听……
这是一道经典的随机过程中random stoping time的问题，其实题目有一些不太合理，比如说如果假设毙命的效用是负无穷，那么理性玩家的确是不可能参与游戏的。
另外如果事件独立，那么每一期的决定理论上是和上一期无关的，玩家的确有一个期望是如果连续玩这个游戏玩到第几期会死掉的概率是多少。但是每一局游戏开始的时候玩家做决策的时候会把每一期都当成是第0期，因为今天死亡的概率并不受到之前的概率结果的影响，这也是布朗运动的基本思想。
所以在设定的情况下，人每一期的决定是固定的，如果没有风险偏好那么便取决于每一期的期望收益，期望收益为正则始终参加，期望收益为负则永远不会参加。我们现在假设生命有一个价值，失去生命会给我们带来负的经济影响 $-M$ 。那么这个时候中性风险偏好下期望值是 $\mathbf Eu=p\times 5000-(1-p)\times M$ 其中 $1-p$ 是毙命的概率。
有些人说到人对于风险是有偏好的，那么实际上我们也可以假设一个效用函数 $u$ ，并且 $u'>0,u''<0$ 。来模拟这种效用，那么这个时候期望效用是 $\mathbf Eu=p\times u(5000)+(1-p)\times u(-M)$ 。
然而这一切都不是回答问题的关键，甚至并不重要。事实上这个问题如果要完整，并且有意义，应该是下面的样子。
我们假设游戏是这样子的：

$t\in \mathbb N$

$p$

$R$

$L$

$p, R, L$

$m_0=0$

$V$

在这样的游戏下玩家每一期是否继续的策略不但取决于当期的期望收益，并且取决于自己当期的状态变量：自己上一期结束后手上还剩余多少钱  ，距离出局还有多远。
在这样的假设下我们如果假设 $p=0$ , $V=10000$ , $R=50$ , $L=5000$ 。那么这个情况下，如果初始资金 $m_0$ 为0，不计后果不停进行游戏的话，平均大概多少局以后会出局，真正获得胜利的概率又是多少呢？
我简单写了个R的小程序来模拟一下：
set.seed(123)

p=0.01
lifevalue=10000
n_sim=100000
R=50
L=50000
start=0

count=rep(start,n_sim)
money=rep(start,n_sim)
for (i in 1:n_sim)
{
  while (money>=-0.1&money<=lifevalue)
{u=runif(1)
count=count+1
money=ifelse(u>p,money+R,money-L)
}
}
mean(count)
plot(density(count))
quantile(count,probs=seq(0,1,0.05))模拟10万次之后结果如下：

0启动资金的条件下，平均来说大概87局以后游戏会结束；大多数情况下游戏都会以结束生命的方式结束，10%的情况下可以获得最后的胜利；

> mean(count)
[1] 86.83792
> plot(density(count))
> quantile(count,probs=seq(0,1,0.05))
  0% 5%  10%  15%  20%  25%  30%  35%  40%  45%  50%  55%  60%  65%  70%  75%  80%  85%  90%  95% 100%
1 6 11 17 23 29 36 43 51 60 70 80 92  105  121  139  161  190  201  201  201 当然这样的模拟另一方面也充分说明了，如果启动资金多一点的话，就算玩这种掰命的游戏，死得也会慢一点……
另一个有趣的现象是观察结束次数的分布情况，分布呈现两集分化状，玩这种游戏要不就是猝死，如果不猝死的话，事实上真正获得胜利的概率还是高于10%的……

kirin77 · 发表于 2021-9-4 16:26

以前有个题目叫悬赏吃大便。
一堆人论证如何如何。有个人回帖说，我能吃到马云破产。
大便吃多了里面的细菌会引发感染，估计吃不到马云破产。不过精神可嘉。
不过在中国，996的风险，全封闭富士康的风险，华为压力跳楼人正飞的风险，小煤窑活埋井下瓦斯爆炸的风险。比百万分之一的死亡率大很多。
而且获得的仅仅是你劳动所得，法律规定的，甚至更少。但工厂企业一样人满为患。前赴后继。
还有一个股市。七成以上都是亏损。只有一成赚。可韭菜割不完。
还有彩票，从数学来说很小，几乎为0。
所以这个问题在中国，我相信许多人能玩到美联储破产。
不过这仅仅是一个超发美金的游戏，泛滥之后也就是多出许多美金。由此引发的一系列美金抛售导致的经济问题。
美联储只怕会禁止玩这个游戏的人与国家使用美元。
我个人觉得你最大的风险是怎么解释巨额财产来源不明吧。
而且受害者还有意外险公司。他们肯定紧急出条款补丁，以保护自己不在这个赔付中割肉。

FeastSC · 发表于 2021-9-4 16:34

我来解释一下为什么百万分之一的概率还有那么多不玩的？

百万分之一，比坐车坐飞机失事的概率还小，为啥那么多人选择坐车坐飞机而不选择玩这个游戏？

因为对不确定的畏惧

举个例子
我们学校高数考试的挂科率是30%，假设参与考试，挂科直接毙命，不挂科奖励500万，你猜我参不参加？
参加
30%的概率啊，我竟然还敢参加

很简单，因为30%的挂科率不是随机分布，只要还是正常情况，我非常自信我不会是其中30%
而开车，坐飞机等行为并不是随机事件，虽然有一定的随机性，但人们出于对自己的迷之自信，相信肯定不会发生在自己身上

题目中毙命的概率是随机分布，是绝对的随机，不会因为我长得帅概率就会改变，而随机分布不可控，因此让参与者产生畏惧

你知道人们对不可控的随机损失有多厌恶吗？
你不知道

国外有研究人员做过实验，在大街上找路人甲:兄dei，咱们来玩抛硬币吧，正面你给我100（美元），反面我给你125怎么样？
路人甲:这哥们是个傻子吧，老夫掐指一算，我收益的期望=125x0.5-100x0.5=12.5＞0，这他还玩？

研究人员:不要慌，兄die，就玩一次，我赢了直接跑路，你赢了也赶紧溜，从此再不相见，记住，无论输赢只玩一次！
路人甲:不玩，不玩，溜了溜了

研究结果显示，只有20%的人选择接受
后来提升参与面值，有50%的人选择接受，而此时的赔率是100赔225（美元）

所以，风险厌恶实际是对不可控损失的厌恶
把实验的100美元换成生命，即使概率降到了百万分之一，有一大批人选择不玩也就让人比较好理解了
由于天生（不一定是生理上，也可以是在人类社会成长所自然而然具有）的对损失，对随机的厌恶，导致有一批人对该游戏排斥

至于我，虽然我不是烂命一条，而且长这么帅挂了怪可惜的
但是

我还是要参加
既然我已经知道收益的期望大于0，我当然选择参加了，克服这种心理障碍才能暴富（划重点，警世恒言）

人有多大胆，地有多大产

不说了
题主，在哪参加？

BlaXuan · 发表于 2021-9-4 16:41

如果把这个问题当作一个决策问题来看的话，算连续次数的「玩10000局之后的期望收益」是个有趣的概率论的练习，但是其实不会对真实的决策产生很大的帮助的啊。因为真的玩了10000局之后还活着的人的收益是一个固定的数字，而在中间挂掉的人已经归零了。所以用这个期望值来衡量自己应该玩多少局没太大意义。
——————在理想主义者眼中，一切都是马尔科夫链。
如果这个人是风险中性，又没有财富效应，那么他就两种选择，要么从一开始就不玩，而一旦玩了就会一直玩下去。因为每次收益是固定的，又不考虑自己过往的财富，那么显然决策的最优解要么永远是0，要么永远是1. 要想得到一个「收手」的时间，只能假设这个人风险厌恶。同时规定游戏失败的时候，自己实现了一个效用损失L。而这个L不是金钱，而是生命的效用，所以存在一个特殊的性质，就是一旦这个L实现了，游戏立刻结束，不存在翻本的可能。
其实这里面可能存在的变化就有两条：

首先，随着自己冒险的成功，自己的财富是不断增加的。但是自己的财富的增加可能会反过来影响自己对风险的忍受程度。经济学上，即便是同为风险厌恶者，也存在两种人，一种人是财富越多，对风险的容忍度越高（Decreasing Absolute Risk Aversion，简称DARA），大约的感觉就是：「老子有钱了，输得起！」
另一种人是财富越多，对风险的容忍度越低（Increasing Absolute Risk Aversion，简称 IARA），也就是「光脚不怕穿鞋的，而越有钱越怂」。当然对于这个问题而言，其实还牵扯到对生命的价值的估计L的变化问题，我们往往假设它是一个常数，然而往往是没钱的时候对自己生命的估值比较便宜，有钱了之后对生命的估值更高…… 不过「估值更高」在当前的情形下可以看做是风险厌恶更加的严重，两者可以互换，并且在本问题下无法识别，所以在这里直接假定IARA更加的合理。
事实上，如果是DARA，那么钱越多，越相对更冒险，我们得到的结果还是要么0次，要么无穷次。也只有在IARA的情况下，我们才有可能得到一个停止的时间。
到这一步，其实决定是否停止的公式很简单，定义当前是第N轮，现在要决定是不是玩N+1轮，定义死亡概率为P，当前人的财富为A，定义钱给人带来的效用函数形式为u，u满足IARA的性质，定义死亡带来的效用损失是L:
$(1-P)u((N+1)*5000)+Pu((N+1)*5000-u^{-1}(L)) >u(N*5000)$
稍微整理一下就是：
$\frac{1-P}{P}> \frac{u(N*5000)-u((N+1)*5000-u^{-1}(L)) }{u((N+1)*5000)-u(N*5000)}$
当死亡惩罚L非常非常大的时候，上面的式子可以简化为：
$\frac{1-P}{P}> \frac{L }{u((N+1)*5000)-u(N*5000)}$
左边的比值比只和概率有关，是一个常数，而死亡惩罚的效用也是个常数，所以其实什么时候停止，就取决于「多这五千块钱到底能给我带来多少的效用」，随着自己财富的不断增加，额外的多5000块钱给自己带来的效用越来越少，直到超过了左边，游戏者就再也不会玩这个游戏了。
因为死亡概率非常的小，所以 $\frac{1-P}{P}\approx \frac{1}{P}$ ,上面的式子进一步化简为：
$u((N+1)*5000)-u(N*5000) > PL$
这个含义就更加的清晰了，左边是多这五千块钱到底给我带来了多少的好处，右边是死亡的代价。最直接的权衡，一边是金钱的效用，一边是生命的价格。

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假设有个游戏，你可以无偿获得五千元，但有百万分之一的几率会当场毙命。那么你会玩多少次游戏？

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