Unity面试题学习笔记（14）——U3D数学向量篇

zifa2003293 · 发表于 2022-11-10 08:57

1.向量：

概念：

标量：有数值大小，没有方向。
向量：有数值大小，有方向的矢量（一维，二维，三维....）。

几何意义：

      //Vector3有两种几何意义
      //1.位置 —— 代表一个点
      Debug.Log(transform.position);
      //2.方向 —— 代表一个方向
      Debug.Log(transform.forward);
      Debug.Log(transform.up);
      Debug.Log(transform.right);
两点决定一向量：

      //从A指向B的向量为AB向量
      //B - A = Vector3（AB）
      //从B指向A的向量为BA向量
      //A - B = Vector3（BA）
      //终点减起点

      //A和B此时几何意义是两个点
      Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
      Vector3 B = new Vector3(5, 1, 5);
      //求向量,此时AB和BA的几何意义是两个向量
      Vector3 AB = B - A;
      Vector3 BA = A - B;

      //求另一个物体到本物体的向量
      //transform.position - target.transform.position
零向量和负向量：

零向量：（0,0,0），唯一一个大小为0的向量。
负向量：

（x,y,z）的负向量为（-x,-y,-z）。
负向量和原向量大小相等。
负向量和原向量方向相反。

      //零向量
      Debug.Log(Vector3.zero);
      //负向量
      Debug.Log(-Vector3.forward);
向量的模长：

向量的模长就是向量的长度。
向量是由两个点算出，所以向量的模长就是两个点的距离。
模长公式（求Vector3 A（x,y,z）的模长）：

模长=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
      //Vector3中提供了获取向量模长的成员属性
      //magnitude
      Debug.Log(AB.magnitude);
      //和Vector3.Distance(A, B);的结果一样
      Vector3 C = new Vector3(1, 5, 7);
      Debug.Log(C.magnitude);
单位向量：

模长为1的向量为单位向量。
任意一个向量经过归一化就是单位向量。
只需要方向，不想让模长影响计算结果时使用单位向量。
归一化公式（求Vector3 A（x,y,z）的单位向量）：

单位向量=（x/模长,y/模长,z/模长）
      //返回一个单位向量
      Debug.Log(C.normalized);

      //将原向量变为单位向量
      Debug.Log(C);
      C.Normalize();
      Debug.Log(C);
2.向量的运算：

向量加法：

公式：向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）,则A + B = (Xa + Xb,Ya + Yb,Za + Zb)。
几何意义：

位置+位置：没有任何几何意义。
向量+向量：两个向量相加得到一个新向量（向量相加，首尾相连）。
位置+向量：位置加向量得到一个新的位置（位置和向量相加=平移位置，沿着向量的方向移动向量模长的距离）。

向量减法：

公式：向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）,则A - B = (Xa - Xb,Ya - Yb,Za - Zb)。
几何意义：

位置-位置：两个位置相减得到一个新向量（两点决定一向量，详情看上一节）。
向量-向量：两个向量相减得到一个新向量（向量相减，头连头，尾指尾，A - B = B头指A头）。
位置-向量：位置减向量相当于加负向量（实际意义和位置+向量相同，只不过方向相反）。
向量-位置：没有任何意义。

向量乘除法：

向量只会和标量进行乘除法运算。
几何意义：

向量 */ 标量 = 向量
向量 */ 正数 = 方向不变，放大缩小模长
向量 */ 负数 = 方向相反，放大缩小模长
向量 * 0 = 得到零向量

3.点乘：

公式：

向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）
A · B = Xa * Xb + Ya * Yb + Za * Zb
向量 · 向量 = 标量
几何意义：

点乘可以得到一个向量在自己向量上投影的长度。（B · A是向量A在向量B上投影的长度再乘上B向量的模长）

点乘的几何意义

点乘结果 > 0，两个向量夹角为锐角
点乘结果 = 0，两个向量夹角为直角
点乘结果 < 0，两个向量夹角为钝角

测试画线：

      //画线段（起点，终点）
      Debug.DrawLine(transform.position, transform.position + transform.forward, Color.green);
      //画射线（起点，方向）
      Debug.DrawRay(transform.position, transform.up, Color.red);
通过点乘判断对象方位：

      Debug.DrawRay(this.transform.position, this.transform.forward, Color.red);
      Debug.DrawRay(this.transform.position,
(enemy.transform.position - this.transform.position).normalized,
Color.blue);
      //得到两个向量的点乘结果
      //向量a 点乘向量AB的结果
      float dotProduct = Vector3.Dot(transform.forward,
(enemy.transform.position - this.transform.position).normalized);
      if(dotProduct > 0)
      {
         Debug.Log(&#34;前方&#34;);
      }
      else if(dotProduct == 0)
      {
         Debug.Log(&#34;右方&#34;);
      }
      else if(dotProduct < 0)
      {
         Debug.Log(&#34;后方&#34;);
      }
公式推导：

点乘公式推导出角度

角度 = Acos(单位向量A · 单位向量B)
      //求玩家到目标的向量
      Vector3 dis = (enemy.transform.position - this.transform.position).normalized;
      //第一步，用单位向量算出点乘结果
      Mathf.Acos(Vector3.Dot(dis, transform.forward));
      //第二步，用反三角函数得出角度
      float angle = Mathf.Acos(Vector3.Dot(dis, transform.forward)) * Mathf.Rad2Deg;
      Debug.Log(angle);

      //直接使用API
      Debug.Log(Vector3.Angle(dis, transform.forward));
总结：

向量点乘对于游戏开发的意义：

判断对象的方位。
计算两个向量之间的夹角。

4.叉乘：

公式：

向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）
A × B = （YaZb - ZaYb,ZaXb-XaZb,XaYb-YaXb）
向量 × 向量 = 向量
叉乘计算：

//crossProduct是一个Vector3类型的变量
crossProduct = Vector3.Cross(A.position, B.position);
几何意义：

A × B 得到的向量同时垂直A和B。
A × B 向量垂直于A和B组成的平面（法向量）。
法向量的方向在Unity中遵循左手定理（用左手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向，注意旋转角度不得超过180°，或者说应该选择旋转量较小的一方）。
A × B = -（B × A）

叉乘向量的方向：

正右负左
      //假如向量A和B都在 XZ平面上
      //向量A 叉乘向量B
      //y大于0 证明 B在A的右侧
      //y小于0 证明 B在A的左侧
      crossProduct = Vector3.Cross(A.position, B.position);
      if(crossProduct.y > 0)
      {
         Debug.Log(&#34;右侧&#34;);
      }
      else if(crossProduct.y < 0)
      {
         Debug.Log(&#34;左侧&#34;);
      }
总结：

向量叉乘对于我们的意义：

得到一个平面的法向量。
得到两个向量之间的左右位置关系。

当使用点乘或叉乘来判断两个物体的相对方向时：

点乘用的两个向量分别是本物体的forward（transform.forward）和参照物体与本物体之间的向量(target.position - this.transform.position)，且点乘的结果与向量顺序无关。
叉乘用的两个向量分别是本物体的position和参照物体的position，叉乘结果和向量顺序有关（Vector3.Cross(本物体位置，参照物体位置)），保持顺序才能获得参照物体对于本物体的位置。

5.向量插值：

线性插值：

概念：
Vector3.Lerp(start,end,t);
对两点进行插值计算，t的取值范围为0 - 1。
应用：

1.每帧改变start的值（先快后慢）
2.每帧改变t的值（匀速）

      //result = start + (end - start) * t

      //1.先快后慢
      A.position = Vector3.Lerp(A.position, target.position, Time.deltaTime);

      //2.匀速
      if(targetPos != target.position)
      {
         targetPos = target.position;
         starPos = B.position;
         //为什么不用Time.time？
         //因为Time.time会不断增加，且无法置零。所以用可以置零的自定义float变量。
         m_time = 0;
      }
      m_time += Time.deltaTime;
      B.position = Vector3.Lerp(starPos, targetPos, m_time);
球形插值：

概念：
Vector3.Slerp(start,end,t)

对两个向量进行插值计算，t的取值范围为0-1。
线性插值是平移，直线运动；球形插值是旋转，弧形运动。

应用：
和Lerp相同，只是API和运动轨迹不同。
      //1.先快后慢
      A.position = Vector3.Slerp(A.position, target.position, Time.deltaTime);

      //2.匀速
      if (targetPos != target.position)
      {
         targetPos = target.position;
         starPos = B.position;
         m_time = 0;
      }
      m_time += Time.deltaTime;
      B.position = Vector3.Slerp(starPos, targetPos, m_time);

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