unity旋转与四元数

Ylisar · 发表于 2022-2-4 17:35

概述：

表示旋转

四元数通常用来表示旋转，但表示旋转的方法很多，为什么要用更为复杂的四元数呢？
首先来看以下三种常用的旋转表示方法：

矩阵
欧拉角
轴角对

矩阵

即旋转矩阵。一个向量乘以旋转矩阵可以得到旋转后的向量。严格的说，这里单独列为矩阵是不妥当的，因为欧拉角和轴对角、四元数都可以以矩阵的形式表示，并且在unity内部都是用矩阵来计算，区别在于使用的矩阵。
比如在二维空间中，旋转可以用一个单一的角定义。作为约定，正角表示逆时针旋转。把笛卡尔坐标的列向量关于原点逆时针旋转的矩阵是：

$M(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$
在三维空间就要复杂一些，因为可以绕三个轴旋转。比如绕x轴旋转度，旋转矩阵为：

$R_x(\theta) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
类似的还有绕y轴旋转 $R_y(\theta)$ 、绕z轴旋转 $R_z(\theta)$ ，此处不再写出矩阵形式。
注意矩阵乘法不满足交换律，如果要同时绕三个轴旋转，需要定义一个旋转顺序。在unity里，这个旋转顺序是 $zxy$ ，这意味着给定 $(\theta_x, \theta_y, \theta_z)$ 这样的旋转角度时，得到的组合旋转变换矩阵为 $M_{rotate_z}M_{rotate_x}M_{rotate_y}$ 。即向量先绕 $z$ 轴旋转 $\theta_z$ ，再绕 $y$ 轴旋转 $\theta_y$ ，最后绕 $x$ 轴旋转 $\theta_x$ 。
在unity的顶点着色器里顶点旋转就是乘以旋转矩阵。实际上顶点变换都是乘以矩阵，并且是以缩放-旋转-平移的形式进行变换。当移动mesh组件物体时，该游戏物体的顶点属性并没有发生变化，是cpu每帧发送变换矩阵给gpu，在顶点shader里对每个顶点进行运算。有一个例外就是对于skinnedMesh的物体，这个下个专题再说。
这种矩阵的缺点在于每一个旋转都需要用3X3的矩阵，即9个float数据表示（这里示范的是齐次坐标多出一个维度），表示方式不够直观，但运算效率高。
欧拉角

欧拉角使用三个旋转弧度表示在 $x/y/z$ 轴上的旋转，常用于飞行模拟，比如：

绕右向量的旋转称为：pitch（点头），也叫俯仰角
绕上向量的旋转称为：yaw（摇头），也叫偏航角
绕视方向向量的旋转称为：roll（转头），也叫翻滚角

如下图飞机所示：

欧拉角优点很明显，就是十分直观，而且所需的参数少，只需要三个float型变量。
其实在unity的Transform组件里就是用欧拉角来表示旋转，如下图：

pitch、yaw和roll都可以只用一个float数值来定义，通过不同的值使得飞机做出yaw(偏航)，pitch(俯仰)和roll（翻滚）。但是如果你把pitch即x值设置为 $\pm90^\circ$ 时，你会发现调整y值跟z值不会有任何区别，即失去了一个维度，这就是万向锁。
当然你可以在unity这样设置旋转：

这里每一个维度的旋转都是旋转其父物体的某一角度，在各自的角度上互不干扰。比如pitch的x值不会影响到yaw的z值，但pitch的x值会影响到所有子物体的x值（相对于世界坐标），不过x、y、z值方向上各自独立，依然可以解决万向锁的问题。
当然在unity里我们不可能给每个物体都设置3个父物体。多说一句，如果在unity里想要实现可绕主角旋转、自身可俯仰、可设置离主角距离的camera，即大多数mmorpg里的camera，可使用这种方法，只不过是将旋转与距离设置分隔开来，写代码就会非常好写。
轴角对

一个以单位矢量定义的旋转轴，再加上一个标量定义的旋转角来表示旋转。通常的表示 $[x,y,z,\theta]$ ，前面三个表示轴，最后一个表示角度。表示非常直观，也很紧凑，并且不存在万向锁的问题。
轴角最大的一个局限就是不能进行简单的插值，此外，轴角形式的旋转不能直接施于点或矢量，必转换为矩阵或者四元数。
接下来有请四元数登场。
四元数

来看上面所说的轴角对表示方法： $q = [x,y,z,\theta]$ ，我们把  放在前面，写成 $[\theta, x,y,z]\Rightarrow[\theta, (x,y,z)]$ ，现在把 $\theta$ 和轴 $(x,y,z)$ 做一个变换：

$q = [\theta, x,y,z] = [\cos (\theta/2) \space \space (sin(\theta/2)n_x \space\space sin(\theta/2)n_y \space\space sin(\theta/2)n_z \space)]$ ，
把后面的向量直接用轴  来表示，也可以写成

$q = [\theta, x,y,z] = [\cos (\theta/2) \space \space nsin(\theta/2)]$ 。
这就是一个四元数。这样的四元数有什么作用呢？
如果有一个向量 $p$ 绕轴旋转  弧度，那么可以写成如下形式：

$p^{'}=qpq^{-1}$ ，其中 $q = [\cos (\theta/2) \space \space nsin(\theta/2)]$ 。
至于这个公式是怎么推导出来的，这

四元数除了可以避免万向锁，还可以表示很好的插值来进行平滑的旋转。（矩阵插值很困难，欧拉角插值可能会遇到万向锁）
unity里提供了Quaternion.Slerp方法来进行两个四元数之间的插值，实现任意两个角度平滑过渡。
四元数的应用

四元数结构紧凑，不受万向锁影响，可以轻松插值。 Unity 内部使用四元数来表示所有旋转，可以使用 Quaternion.operator * 对旋转进行旋转，或对向量进行旋转。比如Transform的Rotate方法，內部实现为：
   Quaternion quaternion = Quaternion.Euler(eulers.x, eulers.y, eulers.z);
   if (relativeTo == Space.Self)
      this.localRotation *= quaternion;
   else
      this.rotation *= Quaternion.Inverse(this.rotation) * quaternion * this.rotation;
由于四元数不直观，通常做简单旋转操作还是以欧拉角为参数，或者通过欧拉角转换得到一个四元数。在Rotate方法里你传入的是欧拉角，但实际进行运算的是四元数。

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