【最优化导论】粒子群优化

NoiseFloor · 发表于 2022-1-3 21:12

粒子群优化

并不是只更新单个迭代点 $x^{(k)}$ ，而是更新一组迭代点，称为群。群中每个点是一个粒子，可以将群视为一个无序的群体，其中每个成员都在移动，意在形成聚集，但移动方向是随机的。
每个粒子都持续追踪当前为止的最好位置。对某个粒子相关的当前为止的最好位置为 $pbest$ ，全局当前位置最好的位置为 $gbest$ 。
引入Hadamard积算子， $A\circ B$ 表示A和B各元素对应相乘得到的矩阵。
算法：

令 $k:=0$ ，随机产生一个初始的粒子群，即产生d个粒子的位置 $x_i^{(0)}$ 及其对应的速度 $v_i^{(0)}$ ， $p_i^{(0)}=x_i^{(0)},i=1,2,\dots,d$ ，令 $g^{(0)}=arg\min_{x\in \{x_1^{(0)},\dots,x_d^{(0)}\} }f(x)$ 。
针对每个 $i=1,2,\dots,d$ ，随机生成两个n为向量 $r_i^{(k)},s^{(k)}_i$ ，按照均匀分布的原则抽取区间(0,1)中的随机数，构成这两个向量的元素，令： $v_i^{(k+1)}=\omega v_i^{(k)}+c_1r_i^{(k)}\circ(p_i^{(k)}-x_i^{(k)})+c_2s_i^{(k)}\circ (g^{(k)}-x_i^{(k)})\\x_i^{(k+1)}=x_i^{(k)}+v_i^{(k+1)}$
针对每个 $i=1,\dots,d$ ，如果 $f(x_i^{(k+1)})<f(p_i^{(k)})$ ，令 $p_i^{(k+1)}=x_i^{(k+1)}$ ，否则令 $p_i^{(k+1)}=p_i^{(k)}$
如果存在 $i\in\{i,\dots,d\}$ ，使 $f(x_i^{(k+1)})<f(g^{(k)})$ ，令 $i^*=arg\min_i f(x^{(k+1)}_i)$ ， $g^{(k+1)}=x_{i*}^{(k+1)}$ ，否则令 $g^{(k+1)}=g^{(k)}$
如果满足停止条件，就停止迭代
令 $k:=k+1$ ，回到第2步

参数w表示惯性参数，取稍微小于1的值， $c_1,c_2$ 决定了粒子趋向于”好位置“的程度，分别表示来自”认知“和”社会“部分的影响因素，即粒子本身最好位置和全局最好位置对其运动的影响，建议取值 $c_1=c_2\approx 2$
粒子群优化算法的变种

在收敛因子粒子群优化算法，速度更新公式为 $v_i^{(k+1)}=\mathcal{K}(v_i^{(k)}+c_1r_i^{(k)}\circ(p_i^{(k)}-x_i^{(k)})+c_2s_i^{(k)}\circ(g^{(k)}-x_i^{(k)}))$

$\mathcal{K}$ 为收敛系数： $\mathcal{K}=\frac{2}{2-\phi-\sqrt{\phi^2-4\phi}}$
收敛系数的作用在于加快收敛。 $\phi=c_1+c_2,\phi>4$ 。

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