图形学里面的数学

kyuskoj · 发表于 2021-4-20 08:51

首发于知乎：https://zhuanlan.zhihu.com/p/255222417
文章建立于 20200621 暴雨转晴
文章修改于 20200919
文章完成于 20200919
声明：此文章为本人学习笔记。首发知乎。自己温习，也同他人分享沟通。如果文章中有侵权，错误，或者有不同的理解，本人希望在学习的路上得到更多的沟通，反馈。鄙人在此致谢。烦请大家多指教！
《图形学里面的数学》是本人计划的系列文章，每次更新为虎书间隔三章内容。
随着工作中的内容和美术在计算机中的图形表现，更随着深入的研究，越是发现基础学识的重要性，在这里写一个笔记给留自己复习及需要的朋友们查阅。
实用和技巧：指的是在各引擎或者DCC内的实现方法和原理；更好的理解记忆技巧。

文章大纲一、向量二、矩阵三、变换

一、向量：
1.1、向量向量：（向量又叫矢量）有方向有长度，无位置。
存在一个特殊性向量为：零向量。
向量相加：

向量相减：

向量与标量（常数，一个值）相乘：

向量求模（模的意思是标量，是长度，是一个数值）：

向量归一化：
归一化，又叫单位化；模（长度）为1的向量。
在图形学中，需要的是向量的模标准化（归一化）后，向量点积结果，或者是求两个向
量的cos角度值。

1.2、内积（点积）向量的点积（点积又叫内集）：点积：向量乘向量＝向量长度乘向量长度乘两个向量的Cos角度实用和技巧：在所有计算前需归一化，所以上述点积的公式化解后，最终的值便是Cos角度的值域是－1到1内。小参考：

在图形学里，向量点积前需要归一化（转为模长为1的向量）再计算，所以

在这个公式里点积的结果就是CosA的值，向量A的模为1，向量B的模也为1。
11CosA就是结果，而Cos的值域只有－1到1。

1.3、外积（叉积）
向量的叉积（叉积又叫外集）：
叉积的结果也是一个向量。
要绝：结果x为与x不相干的参数相减，结果y为与y不相干的参数相减，结果z为与z不想干的参数相减。实用和技巧：用来判断点在三角形内还是在三角形外，如果一个点都在三个向量的右侧或者左侧，那么就在三角形内。前提条件也需要定义好是左手法则还是右手法则。

向量的投影计算：
向量的投影结果为向量。

常数与常数先计算，然后再计算常数与向量的计算，得出结果为向量。

1.4、向量空间（二维化）
数组化（横向表示，或者竖直表示）。

二、矩阵
图形学中，常见于把顶或者向量增加一个数，引入齐次概念，来方便做计算。目的在计算中把计算写成矩阵与向量的计算。
2.1、矩阵

2.2、线性方程组
初等变换：结果为一个向量乘上一个简约矩阵。
什么叫简约矩阵：

解齐次方程组：用的增广矩阵得到简约矩阵，再求得线性方程组的解方法：

2.3、逆矩阵

2.4 行列式
基本概念：

二阶行列式：它的算法（2X2大小方阵）

三角行列式：上三角行列式与下三角行列式算法

在主对角上或者下都为零的状态下。

特殊行列式：
性质，主对角数相等，上三角与下三角数相等。

特殊行列式：
等比行列式，后行与前行呈指数等比。
算法：使用后列比数与此列比数相减的乘积。

行列式的常见算法：

行列式对换行列后的表示：

行列式中存在一样的列元素或者行元素，有可能存在等比例的，其值为0：

行列式的拆分：

常见拆分解法如下：示例1

示例2：

在常用行列式计算时，都是采用以上的几种性质：
0、首先找规律和性质看能否快速得到结果
1、其次就是把行列式转变成简约式，从简约式得到上三角或者下三角性质
书写的规范性（矩阵算简约矩阵时也可以这样书写）：
双向箭头为互换，r1为第一行，c2为第二列。

便捷计算：

示例：
1

2

3

4

4步完成计算。
算法总结：
齐次后值为0，非齐次后值为非零常数。

三、坐标变换
3.1、线性变换
正交矩阵：可保持被变换的向量的长度和角度；变换前和变换后是一样的长度和角度。
偏手性：在计算时需要注意是左手空间，还是右手空间坐标系。
3.2、比例变换
向量或者标量与矩阵相乘，得到比例变换。可以是0，也可以是均匀变换，和非均匀变换。
3.3、旋转变换
二维旋转变换推导：（常用于UV和平面图像上）

三维旋转变换：
旋转变换是矩阵中最复杂的变换。一般在计算中都是拆分去计算，先旋转一个轴，再旋转另一个，最后旋转另一个，完成旋转操作。一般分成4步，第一步在一个平面内，第二步在另一轴平面内，第三步在最后的平面内，第4步平移。
3.4、四维变换
从MIT大神们听来，为什么这样操作：因为人类懒惰，需要一个方便省时省力的事情。所以就有这样的操作。只需要注意4X4矩阵的最后一位，是常数还是0，在记算中正常情况下都把他们变成1或者0，如果不是1，那么把所有元素乘个倒数变成1。在数据计算时用来区分是向量还是坐标。
3.5、法向量和切向量（就是顶点法线和顶点切线）
3.6、四元素
用四元素来做旋转比用普通旋转变换更便捷。
3.6.2、球型线性插值
参考资料：
1.1、闫令琪 GAMES101《现代计算机图形学入门》 GAMES101 论坛
1.2、《Fundamentals of Computer Graphics, Fourth Edition》 tiger book 业界俗称《虎书》圣典
1.3、《3D游戏与计算机图形学中的数学方法》Eric Lengyel著詹海生译
1.4、《Unity Shader入门精要》第4章节冯乐乐著
https://www.bilibili.com/video/BV1Dt411t7hs
https://www.bilibili.com/video/BV1M7411E74W
https://www.bilibili.com/video/BV1s4411S78P 3Blue1Brown
https://www.bilibili.com/video/BV1X7411F744?p=2 MIT games-cn.orghttps://forum.taichi.graphics/t/topic/272https://www.bilibili.com/video/BV1NW41167rD?p=1 行列式与矩阵

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