向量运算与应用

Arzie100

什么是向量

向量指具有大小和方向的量，一般记做： a ，  ，  ，同时也可以用数对的形式表示，例如：(x, y) ，(7,8,9)
向量的矩阵表示：


向量的大小，也就是向量的长度（一般称作为 模），向量a的模记为： ，若 ，则
单位向量：即模为1的向量，可以记作   。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即   。
零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的
相反向量：长度相等方向相反的向量，  的相反向量为
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作
向量运算

设 ，
加法

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则，


可以将其想象成一个长方形求对角线。
运算过程：



一些运算律：


交换律：
p data-pid="6PQXNsG7">结合律： </p>减法


，如图


运算过程：



一些运算律：


实数和向量的积

设有实数 k，和向量  的乘积还是一个向量，记做 ，且 ，如果 ，则 k = 0 或
其几何意义为：向量的有向线段的伸长或者压缩。
一些运算律：
结合律：
分配律：


向量的点乘（点积，内积，数量积）（Dot Product）

两个向量的数量积（点积，内积，点乘）是一个数量，没有方向，记作
代数定义：
几何定义：我们将  和  的夹角记作  ，且  
若  ，  不共线，则   
若  ，  共线，则 ，因为此时 则 ，若两个向量方向相反，则认为 则 。
一些运算律：
交换律：
结合律：
分配率：
一些性质：


若两个向量互相垂直，则   因此
点乘的实际使用场景

1.计算两个向量的夹角，通过点乘我们可以得到：


若  和  为单位向量，即模为1，那么上面的式子分母即为1，得



2.可以用来求一个向量在另一个向量上的投影，例如图中  在  上的投影，我们记作  


因为  是   在  上的投影，因此 的方向和  相同。因此 ，k为一个常量， 为  的单位向量。

的值我们很好求得：
接下来要看看 k 值的含义，因为  和  方向相同， 因此  不仅是  的单位向量，同时也是  的单位向量，因此 k 即为  的模，即
然后由于  的结尾与  的结尾的连线，垂直于  （如图，也是投影的性质），因此通过三角函数，我们可以得知

的值很好求得， 我们可以通过点乘得到，因此即可求得k的值，然后求得   
如图，通过向量的减法，我们可以得到 ，这样就把  分解成了两个互相垂直的向量。
若我们要把向量 (x, y, z) 投影到x，y，z的某个平面上，只需要把垂直于该平面的那个轴对应的值设置为0即可，例如：投影到xy平面，即为 (x, y, 0) ，投影到yz平面上，即为 (0, y, z)。若投影到某个轴上，则只保留该轴的值即可，例如：投影到x轴上，即为 (x, 0, 0)，投影到y轴上，即为 (0, y, 0)。

3.判断一个向量的朝向是否和另个向量相似，即两个向量的方向性，如图


图中我们可以认为，   和  一样，同时朝向前方，而 朝向的是  的后方。我们可以通过点积的值来判断， > 0 则为同方向（0 <= 夹角 < 90）， < 0 则为反方向（90 < 夹角 <= 180）, = 0 即为垂直（夹角 = 90）。
因为   ，若两个都是非零向量，则 ，通过三角函数可知：当 ， ，因此点积的值 > 0，当 ， ，因此点积的值 = 0，当 ， ，因此点积的值 < 0。

4.两个向量是否接近，夹角越小，即两个向量越接近。通过上面3提到的，我们只能通过点积的值来判断夹角是钝角还是锐角还是直角，那么如何只通过点积的值来判断夹角大小呢？那就是我们把两个向量的单位向量进行点积。这样就会使 ，因此 ，那么当值为 1 时，代表两向量方向正好相同，当值越来越小时，代表两个向量离得越来越远，当值为 -1 时，代表两向量方向正好相反。因此两个向量的单位向量的点积越接近1，两个向量越接近。
这个性质可以应用在高光的显示上，当人眼看向目标的向量和光折射的向量，它们越接近则高光效果越明显。
向量的叉乘（叉积，向量积，外积）(Cross Product)

两个向量的向量积（叉积，叉乘，外积）是一个向量，记作  （或者 ）
我们将  和  的夹角记作  ，且 ，那么叉乘得到的向量的模长为：


方向：与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手螺旋定则（四指方向代表旋转的方向，右手四指从  转向  时，大拇指的方向即向量积的方向）


用矩阵表示：

若为二维向量，即z的值为0，因此 ，又因为二维没有z轴，所以常写作 ，该常量其实就是 。
一些运算律：






一些性质：

（因为 sin0 = 0）
若两个向量互相平行，则

的值是以  和  为边的平行四边形的面积，同样的以  和  为边的三角形的面积自然就是 （至于为什么，下面第四点解释）
叉乘实际使用场景

1.建立三维坐标中的坐标系，例如给定一个x轴和y轴，我们可以通过x轴叉积y轴来获得z轴

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注：若三维坐标系的   那么该坐标系即为右手坐标系。

2.判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。例如我们给定两个向量   ， ，我们想知道  在  的左侧还是右侧，该如何判定？
根据  和  的值，我们可以看出它俩都在 xy 平面上，根据叉积的性质我们可以知道  得到的向量一定垂直于 xy 平面（和z轴平行或重叠），然后根据右手螺旋法则，若  的向量的z的值 > 0 ，那么即表示  在  的右侧，若z的值 < 0 ，那么即表示  在  的左侧。
上面的例子我们是从z轴的正方向看向负方向，但是若从负方向看向正方向，那么原本在左边就会变成在右边，因此左右关系和我们的观察方向有关。
因此若我们从z轴正方向看向负方向，若两个向量组成的平面没有平行于xy平面，我们可以先将其投影到xy平面上，然后再计算左右。

3.判断点是否在三角形内部。


其实本质上还是2中的思路，例如上图，我们可以利用 ， ， 来判断P点是否在  ，  ， 的左侧，若成立，则P点在三角形ABC的内部。
同理可以应用到四边形等多边形中，但是必须夹角小于180度（如下图，ABC>180，因此P点即使在内部，但是却在  的右侧，   的左侧）。


这点是三角形光栅化的基础，要判断三角形覆盖了哪些像素，那就需要知道这些像素是否在三角形内部，好给这个像素进行着色。

4.求三角形面积
如下图三角形，CD长度为 h，AC长度为 b，AB长度为 c，AC和AB的夹角为 α 。


我们知道其面积为：
因为
因此
而 正是我们向量AC和向量AB叉乘结果的模
因此