2023 年第十三届“MathorCup” A 题信用评分卡组合优化问题 ...

zhoujie168 · 发表于 2023-4-18 11:31

A 题量子计算机在信用评分卡组合优化中的应用

题目背景
在银行信用卡或相关贷款业务中，客户在获得信用或贷款资格之前需要经过各种审核规则对其信用等级进行评定。这些审核规则通过一重或多重组合规则对客户进行打分，形成了信用评分卡，每个信用评分卡有多种阈值设置，但只有一个阈值生效。不同的信用评分卡在不同的阈值下对应不同的通过率和坏账率。银行在选择信用评分卡时需要权衡通过率和坏账率，通过率越高则审核通过的客户越多，但坏账率也可能越高，导致银行的损失风险增加。银行最终的收入可以通过贷款利息收入减去坏账损失来计算。因此，银行需要选择合理的信用评分卡组合和阈值设置，以实现最大化的收入。
问题 1 问题分析和思路

问题重述
在 100 个信用评分卡中找出1张及其对应阈值，使最终收入最多。需要将该问题建模并转换为 QUBO 格式，并进行求解。
问题分析
这是一个优化问题，要求在给定的100个信用评分卡中选择一张，并确定其对应的阈值，使得最终的收入最多。这可以看作是一个二维的组合优化问题，其中一维是在100个信用评分卡中选择一张，另一维是选择对应的阈值。同时，需要考虑选择的评分卡及其阈值之间的约束关系，阈值必须在评分卡所定义的范围内。
解题思路

第1步，定义目标函数。将信用评分卡和阈值作为待优化的变量，将收入作为目标函数，构建一个数学模型。
第2步，建立约束条件。根据信用评分卡的定义和阈值的限制，将约束条件转化为数学公式，限制阈值必须在评分卡所定义的范围内。
第3步，转换为 QUBO 格式。将该数学模型转换为QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）形式，即将目标函数和约束条件转换为二次项和一次项，同时引入二值变量来表示信用评分卡和阈值的选择。
第4步，求解。使用优化算法，如模拟退火等，求解QUBO模型，得到最优的信用评分卡和阈值组合。

优化问题如何转换为QUBO格式

资料补充
QUBO（Quadratic Unconstrained Binary Optimization）是一种优化问题的数学表示形式。在 QUBO 格式中，约束条件通过目标函数的定义来实现，……此处省略
省略部分可以点击以下链接进行查看：
在 Matlab 中，可以使用优化工具箱中的函数来表示和求解 QUBO 模型。以下是一个简单的 Matlab 代码示例：
% Step 1: 定义目标函数和约束条件
Q = ... % 二次项的系数矩阵
h = ... % **……此处省略**

% Step 2: 将目标函数和约束条件转换为 QUBO 格式
model.Q = 2*Q; % QUBO 格式要求二次项的系数矩阵乘以2
model.obj = **……此处省略**

% Step 3: 调用 Matlab 中的求解函数进行求解
[x, fval] = intlinprog(model); % 使用 intlinprog 函数求解 QUBO 模型

% Step 4: 获取最优的解
optimal_solution = x; % 最优的变量取值
optimal_objective = fval; % 最优的目标函数值优化问题转换为QUBO格式举例
对于一个需要在变量x和y之间满足约束条件x+y<=1的问题，在QUBO格式中，……此处省略
为什么一次项的系数向量 h为-1？
在 QUBO 格式中，一次项的系数可以是……此处省略
问题 2 问题分析和思路

问题重述
假设数据集中给出了三种信用评分卡（信用评分卡1、信用评分卡2、信用评分卡3），需要设置它们对应的阈值，以使最终收入最多。需要将该问题建模并转换为 QUBO 格式，并进行求解。
问题分析
第一问通过遍历法很快就能得到最优结果，但第二问提升了变量维度，我们需要在给定的三种信用评分卡中分别确定不同信用评分卡中的阈值，使得最终的收入最多。
解题思路

第 1 步，确定目标函数，……此处省略

问题 3 问题分析和思路

问题重述
从给定的 100 个信用评分卡中任选取 3 种信用评分卡，并设置合理的阈值，以使最终收入最多。
问题分析
这是一个组合优化问题，……此处省略
解题思路

第 1 步，定义目标函数：……此处省略

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