多目标规划算法及Python实现

ddvtxx · 发表于 2023-3-19 17:49

多目标规划

多目标规划问题是指在多个目标函数之间存在冲突或矛盾的优化问题。建立数学模型求解多目标规划问题的一般步骤如下：

定义问题的决策变量和目标函数。决策变量是影响问题结果的变量，而目标函数是需要最小化或最大化的问题指标。
根据实际问题的特点，确定问题的约束条件。约束条件通常包括等式约束和不等式约束，用于限制决策变量的取值范围。
建立多目标规划模型。根据实际问题的特点，选择适当的多目标规划方法，例如线性规划、非线性规划、整数规划等。常见的多目标规划方法包括如下方法：
- 权重法（Weighted Sum Method）：将多目标问题转化为单目标问题，将多个目标函数加权求和，然后对单个目标函数进行最优化求解。
- 约束优化法（Constraint Optimization Method）：将多目标问题转化为约束问题，将每个目标函数设置为一个约束条件，将多个目标函数转化为多个约束条件，然后进行单目标规划求解。
- 向量优化法（Vector Optimization）：通过将多个目标函数组合成一个目标向量，利用向量之间的比较进行求解，其中包括欧几里得距离法、切比雪夫距离法等。
- Pareto最优法（Pareto Optimality）：基于Pareto最优解的概念，将多目标问题转化为求解Pareto最优解的问题。Pareto最优解是指在不劣性（非支配性）的基础上，达到最好的目标值，即无法通过改变一个目标函数的值来改善任何其他目标函数的值。
- 其他算法：例如模糊规划、遗传算法、模拟退火算法、粒子群算法等，这些方法通过优化算法的迭代过程来找到最优解。

需要注意的是，不同的方法适用于不同类型的多目标规划问题，并且每种方法都有其优点和局限性。在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的方法，并对求解结果进行验证和分析，以确保求解结果符合实际需求。

求解多目标规划模型。通过数学算法和计算机程序求解多目标规划模型，得到问题的最优解或者近似最优解。在求解过程中，需要考虑问题的特点和实际需求，选择适当的求解算法和计算工具。
分析和解释问题的结果。通过对求解结果的分析和解释，得出问题的结论和决策建议。在分析和解释过程中，需要考虑多个目标函数之间的权衡和平衡，提出符合实际需求的解决方案。

方法

权重法

权重法是一种常见的多目标规划方法，适用于目标函数之间存在明显差异或优先级的情况。其基本思路是将多个目标函数赋予不同的权重，将多目标规划问题转化为单目标规划问题，从而求解得到最优解。
以下是使用权重法求解多目标规划问题的示例：

假设一个公司需要决策生产两种产品A和B，目标是最大化利润和最小化成本。利润和成本之间存在一定的权衡关系，即公司更加关注利润的最大化，但是也需要保证成本的最小化。同时，生产两种产品的成本和收益存在不同的差异，需要进行合理的权衡和平衡。问题的具体数学模型如下：

目标函数：
maximize 3P_A + 2P_B \\minimize 2C_A + 3C_B \\
约束条件：
\begin{cases} P_A + P_B <= 1000 \\ C_A + C_B <= 800 \\ 0 <= P_A <= 400 \\  0 <= P_B <= 600 \\ 0 <= C_A <= 500 \\ 0 <= C_B <= 400 \end{cases} \\
其中，P_A和P_B分别表示产品A和B的生产量，C_A和C_B分别表示产品A和B的成本。约束条件包括生产量的总量限制和生产成本的限制。
为了使用权重法求解该问题，需要先将目标函数归一化，并给定每个目标函数的权重。假设公司希望利润和成本的权重分别为0.7和0.3，将目标函数归一化后得到：
目标函数：
maximize 0.7(P_A/400) + 0.3(P_B/600) \\minimize 0.4(C_A/500) + 0.6(C_B/400) \\
将问题转化为单目标规划问题，即求解如下目标函数的最优解：
0.7(P_A/400) + 0.3(P_B/600) - 0.4(C_A/500) - 0.6(C_B/400) \\
利用线性规划或者其他数学算法，可以求解得到该问题的最优解。最优解表示的生产方案，即为公司最优的决策建议。
要注意的是，权重法只是一种求解多目标规划问题的方法，其结果可能会受到权重的选择和设定的影响。在实际应用中，需要对权重的选择进行适当的验证和调整，以确保求解结果符合实际需求。
向量优化法

向量优化法是用于解决多目标规划问题的一种方法，它通过将多个目标函数组合成一个目标向量，然后利用向量之间的比较进行求解。向量优化法的基本思想是将多个目标函数的最小化问题转化为一个目标向量的最小化问题。
举一个例子，假设我们需要优化两个目标函数 f1(x) 和 f2(x)，其中 x 是一个向量，可以表示为 (x1, x2)。目标函数的表达式如下：
f1(x) = x1 + 2x2 \\f2(x) = 3x1 + 4x2 \\
我们可以将这两个目标函数组合成一个二维向量 F(x)，如下所示：
F(x) = (f1(x), f2(x)) = (x1 + 2x2, 3x1 + 4x2) \\
现在，我们需要找到一个向量 d，使得对于任何向量 x，都有 F(d) ≤ F(x)。这个向量 d 被称为“最优解”或“Pareto最优解”。在二维空间中，我们可以通过绘制等高线来找到最优解。等高线可以被定义为具有相同目标函数值的点的集合。在更高维度的问题中，向量优化法同样适用。通过将多个目标函数组合成一个向量，然后在目标向量空间中搜索最优解。
约束法

约束优化法是一种常用的求解多目标规划问题的方法，它将目标函数最小化的问题转化为一个带有约束条件的最优化问题。该方法通常可以用来解决复杂的多目标规划问题，其中目标函数之间存在相互制约的关系。
举个例子，假设我们要设计一款新产品，需要在性能、成本和质量三个方面进行优化。我们可以将目标函数表示为：
f1(x) = 性能评分 \\f2(x) = 成本评分 \\f3(x) = 质量评分 \\
其中 x 是决策变量向量，表示设计参数。这三个目标函数之间存在约束关系，例如成本评分越低，质量评分越高，性能评分越高。我们可以使用约束优化法来解决这个问题。
首先，我们需要确定目标函数的约束条件。对于成本和质量两个目标函数，我们可以将它们的约束条件表示为：
成本评分 ≤ C_max \\质量评分 ≥ Q_min \\
其中 C_max 和 Q_min 分别表示成本和质量的最大和最小限制。对于性能评分，我们可以将其表示为无约束条件。
然后，我们可以将多目标规划问题转化为以下形式：
minimize F(x) = (f1(x), f2(x), f3(x)) \\
使得
g1(x) ≤ 0 \\g2(x) ≥ 0 \\
其中，g1(x) = C_max - f2(x)，g2(x) = f3(x) - Q_min。这里的 g1(x) 和 g2(x) 分别表示成本和质量的约束条件。
最后，我们可以使用约束优化算法（如线性规划、二次规划、非线性规划等）来求解这个问题。约束优化算法会在满足约束条件的情况下，找到目标函数向量 F(x) 的最小值。
通过使用约束优化法，我们可以找到一组最优解，使得在性能、成本和质量三个方面都得到了平衡。
Python实现

我们求解下列多目标规划问题：
\begin{array}{lr} \max _{x_1, x_2} & 2 x_1+3 x_2 \\ \max _{x_1, x_2} & 4 x_1-2 x_2 \\ \text { s.t. } & \\ & x_1+x_2 \leq 10 \\ & 2 x_1+x_2 \leq 15 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \in \mathbb{R} \end{array} \\
权重法

设置权重\alpha调整两个目标的重要性
\begin{aligned} \max _{x_1, x_2} &\quad \alpha\left(2 x_1+3 x_2\right)+(1-\alpha)\left(4 x_1-2 x_2\right) \\ & \text { s.t. } \\ & x_1+x_2 \leq 10 \\ & 2 x_1+x_2 \leq 15 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \in \mathbb{R} \\ & \alpha \in[0 , 1]  \end{aligned} \\
Python代码
#  导入matplotlib.pyplot
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams[&#39;font.family&#39;] = [&#39;SimHei&#39;]
#  导入pandas和numpy以便能够以DataFrame格式存储数据
import numpy as np
import pandas as pd

#  定义步长
stepSize = 0.01

#  初始化空的DataFrame以存储优化结果
solutionTable = pd.DataFrame(columns=[&#34;alpha&#34;,&#34;x1_opt&#34;,&#34;x2_opt&#34;,&#34;obj_value&#34;])

#  使用stepSize迭代从0到1的alpha值，并将PuLP解决方案写入solutionTable
for i in range(0,101,int(stepSize*100)):
      #  再次声明问题
      linearProblem = pulp.LpProblem(&#34;多目标线性最大化&#34;,pulp.LpMaximize)
      #  在采样的alpha处添加目标函数
      linearProblem += (i/100)*(2*x1+3*x2)+(1-i/100)*(4*x1-2*x2)
      #  添加约束
      linearProblem += x1 + x2 <= 10
      linearProblem += 2*x1 + x2 <= 15
      #  解决这个问题
      solution = linearProblem.solve()
      #  将解决方案写入DataFrame
      solutionTable.loc[int(i/(stepSize*100))] = [i/100,pulp.value(x1),pulp.value(x2),pulp.value(linearProblem.objective)]

#  使用matplotlib.pyplot可视化优化结果
# --  创建线图
plt.plot(solutionTable[&#34;alpha&#34;],solutionTable[&#34;obj_value&#34;],color=&#34;red&#34;)
# --  添加轴标签
plt.xlabel(&#34;alpha&#34;)
plt.ylabel(&#34;obj_value&#34;)
# --  添加剧情标题
plt.title(&#34; 最佳组合目标函数值作为alpha的函数 &#34;)
# -- show plot
plt.show()

约束法

使第二个目标函数最大化，同时要求第一个目标必须至少为30。
\begin{array}{lr} \max _{x_1, x_2} & 4 x_1-2 x_2 \\ \text { s.t. } & \\ & x_1+x_2 \leq 10 \\ & 2 x_1+x_2 \leq 15 \\ 2 x_1+3 x_2 \geq 30 \\ & x_1, x_2 \geq 0 \\ & x_1, x_2 \in \mathbb{R} \end{array} \\
linearProblem = pulp.LpProblem(&#34; 最大化第二个目标 &#34;,pulp.LpMaximize)
linearProblem += 4*x1 - 2*x2
linearProblem += x1 + x2 <= 10
linearProblem += 2*x1 + x2 <= 15
linearProblem += 2*x1 + 3*x2 >= 30
#  应用默认求解器
solution = linearProblem.solve()

#  输出一个字符串，概述是否找到了最优解，如果找到了最优解，那么
print(str(pulp.LpStatus[solution])+&#34; ; max value = &#34;+str(pulp.value(linearProblem.objective))+
   &#34; ; x1_opt = &#34;+str(pulp.value(x1))+
   &#34; ; x2_opt = &#34;+str(pulp.value(x2)))结果为： Optimal ; max value = -19.999999999995993 ; x1_opt = 1.0018653e-12 ; x2_opt = 10.0

好啦，以上是全部内容~
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参考资料：

Linnart Felkl M.Sc. 在Python中使用PuLP进行多目标线性优化 https://www.supplychaindataanalytics.com/zh/%E5%9C%A8python%E4%B8%AD%E4%BD%BF%E7%94%A8pulp%E8%BF%9B%E8%A1%8C%E5%A4%9A%E7%9B%AE%E6%A0%87%E7%BA%BF%E6%80%A7%E4%BC%98%E5%8C%96/

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