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2023.2.19更新：建立物种竞争的最优微分方程模型，使用改进欧拉法求解微分方程组，使用罚函数法处理约束条件，使用改进的粒子群算法求解优化问题。建立的模型如下，完整的文档见文末[1]
\left[\hat{\theta}_1, \hat{\theta}_2, \hat{\theta}_3\right]=\underset{a r g, \theta_3, \theta_3}{\operatorname{argmax}} \text { objfun }=b_1 \sum_{i=1}^{\theta_i} x_i(T)+b_2 \sum_{i=\theta_i+1}^{\theta_i+1+\theta_2} x_i(T)+b_3 \sum_{i=\theta_1+1+\theta_2+1}^{\theta_1+1+\theta_2+1+\theta_3} x_i(T) \\ \left\{\begin{aligned} & \text { 优化变量: } \theta_1, \theta_2, \theta_3 \\ & \text { 控制方程: }\left\{\begin{array}{l} \text { for } t=0 \rightarrow T: \\ \frac{d x_i(t)}{d t}=\left(\frac{L_i}{1+e^{-k * h(t)}}-\frac{L_i}{2}\right) x_i(t)\left(1-\frac{x_i(t)}{N_i}-\sum_{k \neq i} \alpha_k^i \frac{x_k(t)}{N_k}\right) \\ x_i(0)=\left[x_1(0), x_2(0), \ldots x_n(0)\right] \end{array}\right. \end{aligned}\right. \\ 约束条件: \left\{\theta_1+\theta_2+\theta_3 \leqslant \boldsymbol{\Theta}\right.
2023.2.18更新：已更新2023美赛A题1-6问具体思路，建立最优物种竞争微分方程模型
优化问题求解使用多变异位自适应遗传算法，自适应遗传算法是交叉概率和变异概率能够随使用度自动改变，以求得相对某个解的最佳交叉概率和变异概率。本算法是在自适应遗传算法中引进多变异位，以增加种群的多样性。
微分方程求解使用改进欧拉法，改进欧拉法是对欧拉算法的改进方法。 微分方程的本质特征是方程中含有导数项，数值解法的第一步就是设法消除其导数值，这个过程称为离散化。 实现离散化的基本途径是用向前差商来近似代替导数，这就是欧拉算法实现的依据。
处理约束条件使用罚函数法，是求解有约束的最优化问题的一种算法。罚函数法的要旨是将一个有约束的最优化问题转化为一系列的无约束问题；这些无约束问题由原问题及罚函数，再加上惩罚因子组成；而且，这些无约束问题的解会收敛于所求问题的解。
下面是2023美国大学生数学建模A题具体思路和具体的模型展示：建立一个数学模型，预测一个植物群落在各种不规则的天气周期中如何随时间变化。包括本该降水充足的干旱时期。该模型应考虑到干旱周期中不同物种之间的相互作用。
看到群落一词，我们建立物种竞争模型，并加入环境因素（降水量）
首先简单起见，先建立2生物，无环境因素的竞争模型：
研究在同一个自然环境中生存的两个种群之间的竞争关系。假设两个种群独自在这个自然环境中生存时数量演变都服从Logistic规律，又假设当它们相互竞争时都会减慢对方数量的增长，增长速度的减小都与它们数量的乘积成正比。按照这样的假设建立的常微分方程模型为
\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx_1}{dt}=r_1x_1\left( 1-\frac{x_1}{N_1} \right) -a_1x_1x_2\\ \frac{dx_2}{dt}=r_2x_2\left( 1-\frac{x_2}{N_2} \right) -a_2x_1x_2\\ \end{array} \right.
方程的另一种形式为：
\left\{ \begin{array}{l} \frac{dx_1}{dt}=r_1x_1\left( 1-\frac{x_1}{N_1}-\alpha \frac{x_2}{N_2} \right)\\ \frac{dx_2}{dt}=r_2x_2\left( 1-\frac{x_2}{N_2}-\beta \frac{x_1}{N_1} \right)\\ \end{array} \right.
其中r为增长率，N为物种最大容量，
α：物种2对物种1的竞争系数，即每个N2个体所占用的空间相当于α个N1个体所占用空间。
β：物种1对物种2的竞争系数，即每个N1个体所占用的空间相当于β个N2个体所占用空间。
设置求解参数，参数与代码见文末
这些参数表明， x_1 是一个增长相对缓慢的物种，但是种内竞争较小，而且不容易受到 x_2 物种的影响，因此，长远来看， x_1 物种将在该自然环境中占优；相比之下， x_2 物种的增长速度较快，但是种内竞争较大，而且容易受到 x_1 物种的影响，部分代码如下：
from scipy.integrate import odeint
import numpy as np
from scipy.optimize import leastsq
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] #这两句用来正常显示中文标签
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
t = np.arange(0,100,0.1)
def deriv(w,t,a,b,c,d,e,f):
x,y = w
return np.array([ a*(1-b*x)*x-c*y*x, d*(1-e*y)*y-f*x*y])
p=[0.1, 0.002, 0.0001, 0.3, 0.003, 0.0002, 100, 150]
a,b,c,d,e,f,x0,y0=p
yinit = np.array([x0,y0]) # 初值
yyy = odeint(deriv,yinit,t,args=(a,b,c,d,e,f))
plt.figure(figsize=(7,5))
plt.plot(t,yyy[:,0],"b-",label="$x_1$变化曲线")
plt.plot(t,yyy[:,1],"r-",label="$x_2$变化曲线")
plt.plot([0,100],[250,250],"g--")
plt.plot([0,100],[375,375],"g--")
plt.xlabel(u'时间t')
plt.ylabel(u'物种量')
plt.title(u'两竞争物种的变化曲线')
plt.legend(loc=4)
plt.show()
现在将模型扩展一下，建立多物种竞争模型，也就是群落的竞争模型，
将公式2扩展一下：
其中ri为增长率，Ni为物种最大容量， \alpha_i :物种k对物种i的竞争系数，即每个Nk个体所占用的空间相当于
个Ni个体所占用空间。
然后我们再加入加入环境因素（降水量）的影响
我们知道，降水量（符号h表示降水量）应该主要影响的是生长率，所以主要任务是建立以降水量h为自变量，生长率为因变量的函数。
以降水量h为自变量，生长率为因变量的函数可能是以下形式：
[1] 生长率与降水量h成正比
r_i\left( t \right) =k*h\left( t \right)
[2] 生长率与降水量h成logistic关系，这一关系的原因简单解释一下：降水量多的时候植物可能会淹死，因此生长率不可能无限增大，这一点需要写作时在假设一节详细解释原因
逻辑斯谛函数（英语：logistic function）是一种常见的S型函数，其函数图像称为逻辑斯谛曲线（英语：logistic curve）。简单的逻辑斯谛函数可用下式表示：
f\text{(}x\text{)}=\frac{L}{1+e^{-k\left( x-x_0 \right)}}
降水量为0时，假设生长率也为0，构造一个逻辑斯谛函数并减去降水量为0时的数值，就得到了降水量为0时生长率也为0的改进逻辑斯谛函数：（公式见文末地址）
其中Li为物种i的最大生长率，k 为逻辑斯谛增长率或曲线的陡度，h(t)为降水量。将上式代入式4，并把xi都写成t的函数
然后我们就可以自行构造天气条件（降水量），假设物种数量（比如3种 or 4种），设置相关参数，求解微分方程模型，画出各物种的数量变化曲线。然后就能进行各种分析
1.2就植物群落与大环境的长期相互作用，探讨你能从你的模型中得出什么结论。请考虑以下问题。 社区需要多少种不同的植物物种才能受益，随着物种数量的增加会发生什么？
社区需要多少种不同的植物物种才能受益，这明显是个最优化问题，建立最优物种竞争微分方程模型，
思考优化变量是什么：明显是植物物种的数量
思考目标函数是什么：长时间稳定状态下植物生物量的总和最大
什么是生物量，简单来说就是有机物的含量，有机物越多，说明这个群落就越壮大，具体模型见文末
1.3社区中的物种类型如何影响你的结果？
这题可以和问题2一起建模和回答（建模时没有必要把这几个问题区分的这么明显，这点美赛和国赛不同，你要是把每个问题都详细建模和解释，那根本没有时间和精力），也就是在问题2中就直接引入物种类型这个因素。
物种类型：暂定为草本、灌木、树木这三种，草本、灌木、树木的生物量明显是逐渐增加的，而种群数量（问题1中的xi）是逐渐减小的，我们可以收集数据，确定一棵草本、灌木、树木的生物量，比如一棵草的生物量是1，灌木为10，树木为100，对应物种类型的生物量乘以第一问的种群数量（问题1中的xi）就得到了总的生物量
优化变量：草本、灌木、树木分别有多少种
目标函数：长时间稳定状态下植物生物量的总和最大
优化模型方程形式：见文末文档，后续持续更新代码
1.4 在未来的天气周期中，干旱发生的频率更高、变化更大会产生什么影响?如果干旱不那么频繁，那么物种数量对整体种群的影响是否相同?
干旱发生的频率更高、变化更大会产生什么影响，翻译成人话：
频率更高：一段时间内设置降水量较少的时间段的数量
变化更大：降水量较少的时间段的持续时间，降水量减少的程度
1.5 污染和栖息地减少等其他因素如何影响你的结论？
1.6 你的模型表明，为确保一个植物群落的长期生存能力，应该做些什么，对大环境有什么影响？
根据前面几个问题的结论进行适当的语文建模，后续更新见文末地址
不同种类的植物对压力的反应方式不同。例如，草原对干旱非常敏感。干旱以不同的频率和不同的严重程度发生。大量的观察表明，不同物种的数量对植物群落在经历了连续几代的干旱循环时如何适应起到了作用。在一些只有一种植物的群落中，下一代对干旱条件的适应能力不如拥有四种或更多物种的群落中的个体植物。这些观察结果提出了许多问题。例如，植物群落从这种本地化的生物多样性中受益所需的最低物种数量是多少？随着物种数量的增加，这种现象是如何扩大的？这对植物群落的长期生存能力意味着什么？
考虑到干旱适应性与植物群落中物种数量的关系，你的任务是探索和更好地理解这一现象。具体地说，你应该：
1.开发一个数学模型来预测植物群落在暴露于各种不规律的天气周期时如何随着时间的推移而变化。包括应该有充足降水的干旱时期。该模型应该考虑到干旱周期中不同物种之间的相互作用。
探索关于植物群落和更大环境的长期相互作用，您可以从您的模型中得出什么结论。考虑以下问题
2.需要多少不同的植物物种才能使群落受益，随着物种数量的增加会发生什么？
3.群落中的物种类型对你的结果有什么影响？
4.在未来的天气周期中，干旱发生的更频繁和更广泛的变化会产生什么影响？如果干旱不那么频繁，物种的数量对总体群落是否有同样的影响？
5.污染和栖息地减少等其他因素对你的结论有什么影响？
6.你的模型表明应该做什么来确保植物群落的长期生存能力，对更大的环境有什么影响？
您的PDF解决方案的总页数不应超过25页，应包括：单页摘要表。目录。为您提供完整的解决方案。参考列表。
注：MCM大赛以25页为限。您提交的所有方面都计入25页的限制(摘要表、目录、报告、参考列表和任何附录)。你必须引用你的想法、图片和报告中使用的任何其他材料的来源。生物多样性：世界上或特定栖息地或生态系统中的生物多样性。
参考
- ^2023美赛A题更新https://mbd.pub/o/bread/ZJWWkply
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发表于 2023-3-4 13:04
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