除了黎曼猜想，数学界还有哪些至今尚未得到证实的猜想 ...

RhinoFreak · 发表于 2023-2-25 16:35

本问题已经加入新闻专题 >> 那些年，我们一起被「数学证明」支配过的恐惧 更多与数学有关的事儿详见专题。
看到 Michael Atiyah 宣称自己证明了黎曼猜想的消息，突然对这个问题比较感兴趣，希望有人能详细介绍一下。

rustum · 发表于 2023-2-25 16:43

因为不忍 @Yifan 提出“小学生也能看懂”之后被评论区吐槽，所以我准备分享一个真·小学生乃至幼儿园小朋友都能看懂的定理或者说问题。
Ramsey number 的定义是：要找到最小的数 $R(r, s) = n$ 使得 n 人中有 r 个人互相认识或者 s 人互相不认识。一个简单和第一个“non-trivial”的例子是 $R(3, 3) = 6$ ，因为 5 个顶点不行的原因是我们可以得到一个五角星其中没有同色的三角形。Quanta 杂志的这篇专栏文章提供了一个不错的介绍。虽然这个问题看上去简单和有趣，比如我们知道 $R(4, 4) = 18$ ，但是我们尚且不知道等于多少——目前它的已知上下界是 43 至 48。前几天晚上在 Rényi Institute 观看“N is a Number”时 Erds 提到“如果降落在地球上比人类强 N 倍的外星人要求我们告诉他们的值否则就毁灭地球时，那我们最好使用所有的人力和物力去计算（饱和式计算）；如果他们要求 $R(6, 6)$ 的话，那我们最好在他们毁灭我们之前打败他们”。
即便它有时难以计算，但是我们还是可以使用概率论来得到它的下界——这是 Alon 和 Spencer 合著的《The Probabilistic Method》中提到的第一个定理，也是我在 ELTE 上这门课提到的第一个（它也是由 Erds 证明的）：

所以如果有中学生想被清北录取的话，计算可能比证明哥猜“简单一点“……

kirin77 · 发表于 2023-2-25 16:43

谢邀。这个问题问得太大了。几乎每一个领域都有许多尚未得到证实的猜想，只不过对于数论方面的猜想一向是比较有名。原因很简单：数论问的问题好理解啊，很多学过小学数学的小朋友都能看懂题目。当然，做出来就是另外一回事儿了。
看到很多人举数论，几何方向的问题，或者是千禧难题这种知名大问题，我就举一个在偏微分方程领域中的一个问题吧：无穷调和函数（infinity harmonic function） $-Du^TD^2u Du=-\sum_{i,\,j=1}^n u_{ij}u_iu_j=0$ 在 $\mathbb R^n,\,n\ge 3$ 的正则性.
我是2016年7月在Reading大学的听Evans大佬暑期学校讲课的时候接触到这个问题的。至于Evans大佬是谁，你如果没听说过他的名字可以说你没学过PDE.
Lawrence C. Evans他在最后一次课的时候介绍了无穷Laplace方程以及一些等价定义。其中一个等价定义就是，假设是定义在开集 $U$ 上的一个无穷调和方程，那么对于任意的开集 $V\subset \subset U$ 和任意上的Lipschitz函数，如果 $u,\,v$ 在开集上的边界值相同，那么在上的导数长度最大值一定小于等于 $v$ 在上的导数长度最大值。用一个直观的方式去理解就是，我们知道爬坡的时候，坡度越大你爬得越累。而沿着这个函数的图像，无论从哪个地方开始爬，你都能爬得最轻松的。因此它在图像处理等方面有一些应用。
这个方程由Aronsson于1960年左右发现并开始研究，它的解的准确定义是在1990年左右用粘性解的方式定义出来，而Evans从那个时候开始就在研究这个方程，并且在21世纪初的十年推动了一大批人去考虑和这个方程相关的问题，然而直到现在，这个方程的解只有在平面的正则性得到了证明，在高维的函数梯度的连续性依旧是个公开问题（高维现在最好的结论是Evans和他学生Smart的处处可微性；这也已经是10多年前的结果了）。
这个方程的难度在于，由于它的二阶导数矩阵是 $Du$ 和它自身的张量积，所以它的秩处处为 $1$ . 换句话说，当维数大于等于 $2$ 的时候，这个方程在每一点都是退化的。更为神奇的是，Evans在1993年左右证明，并不是所有的无穷调和函数都可以用光滑的无穷调和函数逼近。一个典型的平面上的非光滑无穷调和函数就是 $x^{4/3}-y^{4/3}$ .
数学上有很多公开问题，（椭圆）偏微分方程里面也有不少的猜想，为啥我专门把这个问题拿出来讲呢？因为在那次课的最后，Evans很伤感地说了一句：

如果未来谁能解决这个问题，请将他（她）的文章放在我的坟墓前。（大致意思）

或许是我这个人有些多愁善感吧，我当时就觉得很震动。一位功成名就的数学家花费了20多年去考虑一个问题，并且依旧在不断地思考，却无能为力把它解决，可能不得不成为自己一生的遗憾（Evans很快就要退休了）。而现实是，自从2011年以后这个问题的关注度越来越少，甚至于他的学生很多也不得不放弃这个方向去做其它的问题，以至于近十多年这个问题几乎没有任何实质性的进展。这个问题的困难达到了，可以说几乎现在没有人有任何想法去做它（所有已知的方法几乎全部失效）。为了生存，大家只能寻找新的方向去做，而把这个问题留在心里。但凡谁能在这个问题上推动一点点，他都将得到至少Evans大佬的关注。【想要大佬的推荐信吗？想要得到大佬的关注吗？赶紧考虑这个问题吧~】
希望Evans大佬在有生之年能够看到这个问题的解决吧。

zifa2003293 · 发表于 2023-2-25 16:47

数论中有几个比较大的猜想：
1.BSD猜想
2.Sato-Tate猜想
3.Mordell猜想
4.Weil猜想

请对以上四个进行归类。

OK，既然这个问题是从Riemann假设延申出来的，那我也就从Riemann假设开始。不过这样的问题是我没有按照上面的顺序来介绍这些个大问题。如果让我选一个不喜欢的，那么我几乎一定会选择Sato-Tate。虽然Sato-Tate表述很漂亮，但它告诉我们似乎所有的对象（某一类曲线）长得几乎一样，并没有告诉我们如何去区别和分类它们，而后面的事情才是我们真正关心的。

Riemann Hypothesis（后面简写我就记为RH）的表述是这样的：
$\zeta:\mathbb{C}\to\mathbb{C}, s\mapsto\sum_{n=0}^{+\infty}n^{-s}$ 是一个 $\mathrm{Re}~s>1$ 的全纯函数，可以延拓成为一个全平面的亚纯函数（唯一的极点是1），这个亚纯函数的非平凡零点都在  这条直线上.
当经过了几代数学家的努力都未能完成RH的哪怕一点点证明的时候，一部分数学家想“曲线救国”，试图把RH变一下表述，如果能够解决这样的变化的问题，那么很有可能会给我们解决真正的RH以启发.Weil就是这一批数学家之一，他提出了这样的问题：
如果我们把RH表述中的复数域变成其他的域，准确地说有限域，RH的表述是否还正确？
如果我没记错的话，Weil提出这个问题的时候特别有趣——他被纳粹维希政府关进了监狱，于是他闲得无聊每天花很多时间想数学，也就是在这段时间他提出了这个想法.后来他写信给他妻子，恬不知耻地说这是我这辈子工作效率最高的时间.要不是Weil已经去世了，要不然我真的建议每年关他两天，这样数学界就赚大了.
回到这个问题，当我们把复数域改为有限域的时候需要做的事情有很多：什么是无穷求和，函数应该成为什么样，什么是非平凡零点，临界线又会变成什么样？

最开始的时候RH只是一个很特别的假设，然而不多久就有人（Dedekind）对  函数做出了推广.假设  是一个数域（ $\mathbb{Q}$ 的有限维扩张），我们可以定义对应的整数环  .有与真正的整数环  相类似的性质. Dedekind对于每个整数环都找到了类似于对于  的 $ζ$ 函数的定义，而且在1917年时，Hecke证明了每一个这样的函数都可以延拓到复平面上.然后很快地，几何就开始在这里面出现了.1923年Emil Artin引入了定义在有限域上曲线的RH，而他的想法来源于之前Dedekind想法的推广：对于  起到的作用非常类似于曲线上多项式环（坐标环 $\Gamma(C)$ ）对于分式函数域（ $k(C):=\mathrm{Frac}(\Gamma(C))$ ）起到的作用.在数域上研究  函数相当于对数域中的素数进行计数，而曲线上研究  函数相当于数（三声）给定曲线上的点的数目.
Artin研究的是平面上的某一类特殊的曲线，这里我们的平面指的是  .平面上的曲线  是满足某些多项式方程 $f(x,y)=0$ 的所有点.如果  是比更大的域，那么 $f(x,y)$ 自然地是  上的多项式，于是讨论  上的曲线 $C(F)$ 是有意义的，它的定义方式与之前完全相同，形式地写可以是
$C(F)=Z(f):=\{(a,b)\in F\mid f(a,b)=0\}.$
又如果  是有限域，那么存在 $m\geq1$ 使得 $F\cong\mathbb{F}_{q^m}$ .对于任意 $m$ ，定义 $N_m(C)$ 是曲线 $C(\mathbb{F}_{q^m})$ 的点（这里实际在用概型的语言！）的个数，这些数就是我们想要研究的.

熟悉代数几何的应该都明白，给定一个代数曲线就能够得到一个坐标环  ，它是定义在曲线上的多项式函数组成的环.Artin观察到，Dedekind  函数的定义可以被等价地应用在上.在这里，Artin把函数定义为
$Z_C(t):=\exp\left(\sum_{m=1}^\infty N_m(C)\frac{t^m}{m}\right).$
之后Schmidt把Artin的类比进一步推广，并且给了对有限域上更多曲线的  函数的漂亮解释：第一步是把曲线紧致化，或者说我们考虑的是射影空间中的曲线；其次我们要给曲线加上适当的限定条件，即我们考虑的是光滑的曲线（你可以把这里的光滑理解为类似于流形那种的光滑，在代数几何的语言中表述为每一点的局部环都是regular的）.Schmidt证明了，如果  是亏格为 $g$ 的曲线（亏格可以理解为曲线上“洞洞”的数目），那么
$Z_C(t)=\frac{P(t)}{(1-t)(1-qt)}$
其中  是阶数为 $2g$ 的整系数多项式.此外，Schmidt还证明了，如果我们做变换 $t\mapsto q^{-s}$ ，那么我们能够得到一个类似于RH中 $s\mapsto1-s$ 的函数方程，这样就建立了与RH的联系——对应到有限域的情形就是 $Z_C(q^{-s})$ 的所有零点满足  ，即 的所有零点的模为 $\sqrt{q}$ .

现在该轮到我们的主角Weil登场了.
对于有限域 $\mathbb{F}_{q^m}$ ，我们有自然的域自同构 $x\mapsto x^{q^m}$
于是，猜想的内容是这样表述的：给定有限域，是上的 $n$ 维正则射影代数簇.定义的zeta函数为 $\zeta_X(t):=\exp\left(\sum_{m=1}^\infty N_m(C)\frac{q^{-ms}}{m}\right).$ 那么我们有
1. $\zeta_X(t)$ 是有理函数，且
同样地，Weil给出了自己关于证明这个猜想的方式——我们需要对代数簇正确的上同调理论，由此对于上同调的计算就可以完成猜想的证明.

好的，我们既然进入了有限域，那么不妨来考虑这样一个问题：任意给定有限域  上的一个光滑射影曲线，如果它的亏格不小于2，那么它有几个  点？说实话这个问题问得真的没有价值——肯定只有有限多个，因为有限域的有限维线性空间只有有限个点.但当我们去掉有限性，但没有太改变它的数论性质的时候，这个问题就很有价值了，于是我们有Mordell猜想：
任意数域  上的一个光滑射影曲线，如果它的亏格不小于2，那么它有有限个  点.
自然地有人问，为什么要考虑亏格不小于2的情形，亏格为0或者1的时候有啥问题？亏格为0的时候解释很容易，它只有一种曲线，就是射影曲线，肯定是无限多个点.
<hr/>正确归类方式：后三个已经解决，只有BSD是真正的猜想。
（未完待续）

IT圈老男孩1 · 发表于 2023-2-25 16:51

高斯圆问题，又叫圆内整点问题。很容易懂，很难证明。我在之前的这篇里面也写过：
PENG Bo：黎曼猜想为何这样难证？幻想的证明思路以及Atiyah论文而且它有个优点，它有一个数字可以让你不断改进，所以能改进一点也是贡献。
首先，我们在格点纸上画个半径为r的圆，里面当然大致就有 $\pi r^2$ 个格点。

令 N(r) 为实际的格点数。那么所谓误差项 E(r) 是这样定义的：

现在的关键是，能否对这里的误差 E(r) 有更精确的估计？高斯证明了：

这是因为，大致来说，误差肯定小于圆的周长（这是很漂亮的几何观点，其实 class number formula 就是这样来的），大家可以自己试试证明这个。
但是，圆很规则，所以，实际上误差更小，目前大家猜是：

用模形式的方法（Voronoi summation），可以证明 $O(r^{2/3})$ 的情况，现在最好的结果可以证明到 $O(r^{131/208})$ 。
而 131/208=0.6298...，所以离 0.5+epsilon 还很远，一百年的时间只前进了0.05。如果你能改进这个数字，就可以发论文。
高斯圆问题，看上去很人畜无害，但是非常难。如果你能证明 0.5+epsilon，你的方法肯定可以用于数论中的许许多多其它领域。
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IT圈老男孩1 · 发表于 2023-2-25 16:53

我写几个小学生也能看懂的猜想吧，大家无聊时可以想着玩。不是千禧年级别的，但是做出任意一个成名肯定够了。。

Erdos-Turan&#39;s Conjecture (1936，1976)

假设是正整数的子集，满足 $\sum_{n\in A}\frac{1}{n}=\infty$ ，则中包含任意长度的等差数列。

Hindman&#39;s Conjecture (1979)

自然数集 $\mathbb{N}$ 的任意有限染色，都存在同色的 $\{x,y,xy,x+y\}$ 。

Hill&#39;s Conjecture (1968)

将个点的完全图画在平面上，则边至少交叉次。
其中 $Z(n)=\frac{1}{4}\Big\lfloor \frac{n}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor \frac{n-1}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor \frac{n-2}{2}\Big\rfloor\Big\lfloor \frac{n-3}{2}\Big\rfloor$

Erdos-Szekeres Conjecture (1935)

在平面上画任意 $2^{n-2}+1$ 个点，任意三点不共线，则一定存在个点构成一个凸包。

有空会再更新，有人感兴趣的话我也可以贴一下各个问题的最新进展。
<hr/>更新一下上面问题的最新进展。

Erdos-Turan Conjecture

Green 和 Tao 证明了素数以及素数的稠密子集包含任意长的等差数列。他们的主要工作是证明了素数可以稠密的嵌入一族“伪随机”数，从而使用Counting Lemma数出了等差数列。
参考：B. Green and T. Tao, &#34;The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions&#34;. Annals of Mathematics, 167 (2): 481-547, 2008.

Hindman&#39;s Conjecture

Moreira 证明了存在同色的 $\{x,xy,x+y\}$ 。他主要思路是将问题转化为拓扑动力系统的语言，利用ps集合 (piecewise syndetic) 的“遗传”性质将Ramsey传递到要证明的集合上。论文的第五节他也给出了一个初等方法的“翻译”证明。
参考：J. Moreira, &#34;Monochromatic sums and products in N&#34;. Annals of Mathematics, 185 (3): 1069-1090, 2017.

Hill&#39;s Conjecture

目前连Asymptotic的结论都是open的。甚至对于比较小的情况，人们也只知道 $n\leq 12$ 的情形，甚至 $n=9,10,11,12$ 的情形都是计算机验证的。关于一般的，Balogh et al 去年证明了 $n\to\infty$ 时，至少交叉 $98.5\%\tfrac{1}{64}n^4$ 次。他的主要方法是flag algebra。不过由于flag algebra的局限性，这个方法永远解决不了这个猜想（甚至Asymptotic的情形）。
另外，这个猜想是紧的。把完全图画在圆柱上，上下圆周上各放置一半数量的点，然后用测地线连接边，即可得到交叉为的画法（如图）

K_{10}

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