优化模型之蒙特卡洛算法

KaaPexei · 发表于 2023-2-6 18:41

前面发布了有关三大模型的一些算法，有人私信我出一下蒙特卡洛的理论和代码，这一篇就重点写一下吧！有关三大模型的一些算法可见：
一、蒙特卡洛算法

蒙特卡洛算法是一种随机算法，有一定的概率能够得到不那么正确的答案，但是在大多数情况下，只要给到的模拟点足够多，答案依然能够趋向于局部收敛，即依然能够得到一个不错的答案。它依赖于随机抽样来获得数值结果，使用随机性来解决原则上可能是确定性的问题，在数学和物理上运用广泛。本质上还是蛮好写代码的，直接随机大量模拟数据即可。
二、蒙特卡洛一般步骤

蒙特卡洛方法往往各不相同，但是一般而言，具有一下几个步骤：

定义可能的输入的域（即可能取值的集合）
从域上的概率分布随机生成输入
对输入执行确定性计算
聚合结果

三、使用蒙特卡洛算法计算 \pi

例如，我们使用一个单位正方形来计算 \pi ，如下图所示，此时圆形扇区的面积就为 \frac{\pi}{4} 。

于是 \pi 的值就可以勇敢蒙特卡洛来近似，其步骤为：

定义一个正方形域，即单位正方形，即长和宽均小于等于1；
在正方形上均匀散布一定数量的点；
计算正方形内与原点距离小于1的点的数量；
上述数量与总样本数量的比值就是 \frac{\pi}{4} 的估计值，乘以4就是 \pi 的估计值。

代码可以表示为：
import math # 导入计算模块
import random # 导入随机模块

m = 100000 # 定义模拟点的总数量
n = 0       # 初始化在扇形内的点的数量

for i in range(m):
x = random.random() # 随机生成0-1内的数
y = random.random() # 随机生成0-1内的数
# 计算与圆点距离<1的点的数量，即在扇形内的点的数量
if math.sqrt(x**2 + y**2) < 1:
      n += 1
pi = n / m * 4  # 计算pi值
print(&#34;pi =&#34;, pi)

# 输出结果为：pi = 3.1404我们也可以迭代几个总样本数量，从而得到性能与时间最合适的m值，其代码为：
import math # 导入计算模块
import random # 导入随机模块
import time # 导入时间模块
import matplotlib.pyplot as plt # 导入画图模块

m = [10,100,1000,5000,10000,50000,100000,500000,1000000] # 定义模拟点的总数量的列表
ps = [] # 对于上述的每一个m值，都有对应计算的一个pi值
ts = [] # 对于上述的每一个m值，都有对应计算的一个时间值

# 先遍历每一个m值，然后再对m中的每个元素遍历
for i in range(len(m)):
n = 0                   # 初始化在扇形内的点的数量
start_time = time.time() # 计算开始时间
for j in range(m):
      x = random.random() # 随机生成0-1内的数
      y = random.random() # 随机生成0-1内的数
      # 计算与圆点距离<1的点的数量，即在扇形内的点的数量
      if math.sqrt(x**2 + y**2) < 1:
         n += 1
pi = n / m * 4  # 计算pi值
end_time = time.time() # 计算结束时间
ps.append(pi)
ts.append(end_time - start_time)
# 画图展示
plt.plot(m, ps, label=&#39;pi value&#39;)
plt.plot(m, ts, label=&#39;time value&#39;)
plt.legend()得到的结果为：

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