优化算法笔记

RhinoFreak · 发表于 2022-12-24 14:15

引入问题

多元函数极值问题
求解驻点

已知 A 对称正定, 求 n 元二次函数 f(x) 的极小值
f(x)=\frac{1}{2} x^T A x-x^T b, \quad x \in \boldsymbol{R}^n

x 是自变量的向量

多元函数极值的为驻点（一阶导数为零）, 先计算梯度(导数)
\begin{aligned}f(x)&=\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{k j} x_k x_j-\sum_{j=1}^n x_j b_j \\\frac{\partial f}{\partial x_l}&=\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n a_{k l} x_k+\frac{1}{2} \sum_{j=1}^n a_{l j} x_j-b_l =\sum_{k=1}^n a_{k l} x_k-b_l \\\nabla f &=\operatorname{grad} f=A x-b\\\end{aligned}\\
等价问题：(1) A \boldsymbol{x}-b=0 的解是多元函数驻点
f(x)=\frac{1}{2} x^{\mathrm{T}} A x-x^{\mathrm{T}} b
(2) 由于 A 正定, 则二次函数 f(x) 的极小值点 x^* 必存在且为驻点
f\left(x^*\right)=\min f(x) \quad \Leftrightarrow \quad \nabla f\left(x^*\right)=A x^*-b=0
求解目标：\bf A x^*-b=0

线性方程组 A x=b, 转化为多元函数的极小值问题, 那如何找到这个极小值?

任给一点, 函数 f(x) 在该点的负梯度方向下降最快!

具体步骤：(1) 给定任意初值 x_0, (人当前所在位置), 计算残量 r_0=b-A x_0. (最陡的下降方向 -\nabla f(x^*))(2) 沿着选定的方向 \mathrm{P} 前进, 例如 P=r_0 方向 x_1=x_0+\alpha * P, \quad 怎样选择合适的 \alpha \alpha= ? （沿着负梯度方向走多远?）当前方向P的最低点！满足
\begin{gathered}\left.\frac{d f}{d \alpha}\right|_{x_1}=\left.\nabla f\right|_{x=x_1} \cdot P=\left(r_1, P\right)=\left(b-A x_1, P\right)=0 \\\rightarrow\left(b-A x_0-\alpha A P, P\right)=\left(r_0-\alpha A P, P\right)=0 \rightarrow \alpha=\frac{\left(r_0, P\right)}{(A P, P)}\end{gathered}
(3) repeat (环视一周, 找好新的前进方向, 走到底)
一. 梯度下降法

如何找步长？
精确法： Exact Line Search

\alpha=\operatorname{argmin} F\left(\mathbf{x}^{(k)}-\alpha \nabla F\left(\mathbf{x}^{(k)}\right)\right) \\
在保证往下降方向前行，且步长尽量大

Backtracking Line Search

Initialize \alphaFor l=0 \ldots \inftyWolfe ConditionsIf F\left(\mathbf{x}^{(k)}-\alpha \nabla F\left(\mathbf{x}^{(k)}\right)\right)<F\left(\mathbf{x}^{(k)}\right)+\cdotsthen break\alpha \leftarrow \beta \alpha
Descent Directions

如果存在足够小的步长 \alpha，则方向 \mathbf{d}(\mathbf{x}) 是下降的：
F(\mathbf{x})>F(\mathbf{x}+\alpha \mathbf{d}(\mathbf{x}))\\

1.选择梯度的方向作为下降方向\mathbf{d}(\mathbf{x})=-\nabla F(\mathbf{x}) \Longrightarrow-\nabla F(\mathbf{x}) \cdot(-\nabla F(\mathbf{x}))>0
2. 牛顿法也是一种下降法，如果 Hessian 总是正定的：\mathbf{d}(\mathbf{x})=-\left(\frac{\partial^2 F(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}^2}\right)^{-1} \nabla F(\mathbf{x}) \Rightarrow-\nabla F(\mathbf{x}) \cdot\left(-\left(\frac{\partial^2 F(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}^2}\right)^{-1} \nabla F(\mathbf{x})\right)>0
3. 任何使用正定矩阵 \mathbf{P} 来修改梯度的方法都会产生下降法：\mathbf{d}(\mathbf{x})=-\mathbf{P}^{-1} \nabla F(\mathbf{x}) \Rightarrow-\nabla F(\mathbf{x}) \cdot\left(-\mathbf{P}^{-1} \nabla F(\mathbf{x})\right)>0
descent Methods总结：

所有的下降法可以归纳为如下形式：Initialize x^{(0)}For k=0 \ldots K
\mathbf{x}^* \leftarrow \mathbf{x}^{(k+1)} \leftarrow \mathbf{x}^{(k)}-\alpha^{(k)}\left(\mathbf{P}^{(k)}\right)^{-1} \nabla F\left(\mathbf{x}^{(k)}\right)
不同的 \mathbf{P} 矩阵得到不同的求解方法。

二. 共轭梯度法

前置条件

(1) 矩阵列满秩, 列向量可以选做一组基向量
\operatorname{span}\left\{a_1, a_2, \ldots, a_n\right\}=\boldsymbol{R}^n
(2) 解方程等价于：寻找一组坐标 x_1, \ldots, x_n 使得 b 可以由列向量线性表示！!
b=x_1 * a_1+x_2 * a_2+\ldots+x_n * a_n
若 \mathrm{A} 是正交矩阵或者列向量 a_k 彼此正交, 则容易计算出系数 x_k
\bf b_k 在基向量下的投影即可求解 \bf x_k，有；x_k=\left(a_k, b\right), \quad k=1 \rightarrow n
共轭向量组

A 对称正定, u, v 是 n 维向量, 则可定义 A- 内积
(u, v)_A=(A u, v)=v^T A u=\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^n a_{j k} u_j v_k\\
若 (v, u)_A=0, 则该 \mathrm{A} 内积对应的角度正交, 此时称为 \mathrm{A} 共轭。简言之, A-共轭即是 \mathrm{A} 内积下正交。

共轭即有线性无关。

利用共轭向量组的性质，直接求解。

给定 \boldsymbol{R}^n 空间中一组彼此 \mathrm{A} 共轭的向量组（可作为一组基)
P_1, P_2, \cdots, P_n\\
则目标向量 x=A^{-1} b 可由表示成这组基的线性组合： x=\sum_{j=1}^n \alpha_j P_j
\begin{aligned}&A x=b=\sum_{j=1}^n \alpha_j A P_j \rightarrow P_k^T b=\alpha_k P_k^T A P_k\\&\alpha_k=\frac{\left(P_k, b\right)}{\left(P_k, P_k\right)_A}=\frac{P_k^T b}{P_k^T A P_k}\\\end{aligned}
如果给定了一组共轭向量组 P_k, 则可按照上式求出对于系数 \alpha_k，即有精确解：
\boldsymbol{x}=\sum_{j=0}^{n-1} \alpha_j P_j, \quad \alpha_k=\frac{P_k^{\mathrm{T}} b}{P_k^{\mathrm{T}} A P_k}\\
理论上是直接法求精确解，实用上是迭代法近似解！一般 k \ll n, 也是子空间方法：
\left\{\begin{array}{l}x^{(0)}=\mathbf{0} \quad \text { Or other initial guess } \\x^{(k+1)}=x^{(k)}+\alpha_k P_k=\alpha_0 P_0+\alpha_1 P_1+\ldots+\alpha_k P_k\end{array}\right.

Note:

\mathrm{P} 是比最速下降法的 r_k 更有效的前进方向！！不必要 k=n, 精度满足要求即可。

找出一组一组 \mathrm{A} 共轭向量组 P_k

施密特正交方法 Gram-Schmidt\left\{\begin{array}{l}P_0=y_0 \\P_j=y_j-\sum_{l=0}^{j-1} \frac{\left(A P_l, y_j\right)}{\left(A P_l, P_l\right)} P_l, \quad j \geq 1\end{array}\right.\\
算法框架：

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