计算机图形学几何表示与Bezier 曲线

kirin77 · 发表于 2022-4-29 14:50

常见的坐标系：

直角坐标系(x,y,z)，球坐标系(r, $\theta,\phi$ )，柱坐标系 ( $r,h,\theta$ )

直角坐标系

球面坐标系

直角坐标和柱坐标

直角坐标系分类：

右手坐标系和左手坐标系

几何场景：定义在一个世界坐标系中，包含坐标系中的所有物体
世界坐标系：

描述物体在场景中的相对位置和各自的形状，需要建立一个统一的整体坐标系

局部坐标系：

有利于表达各个物体的内在几何特征，物体的几何表示可以表示为较为简单的形式
容易实现物体绕自身轴线的旋转和各种调节形状的缩放变换

单位球面（局部坐标系和世界坐标系）

球面坐标系

相互转换：线性变换，平移，旋转，剪切，放缩

局部坐标系和世界坐标系

局部坐标系中的物体进行变换更简单

多边型表示

对于数学公式难以描述的物体，需要用大量的平面片来逼近其外形
平面片：三角型和四边型（可以表示任意复杂的物体）

三角形表示的海豚

野鸭模型的多边形表示

构造方式：三维数字化仪（原始数据为三维空间中的点集）（采用三维重建算法得到的多边形表示）
或者三维激光测距装置
采用解析公式精确表示的表面：参数曲面，细分曲面，隐式曲面

参数曲面的多边形逼近

细分曲面的多边形逼近

隐式曲面的多边形逼近

通过控制逼近的精度，对表面进行采样，可以建立起满足给定精度的曲面物体的多边形逼近表示
多变形表示OBJ格式：

顶点表（ $v_i=(x_i,y_i,z_i),i=1,2,...顶点的数目$ ）（每一个顶点的三维空间坐标）

顶点坐标表

纹理表（ $t_p=(u_p,v_p),p=1,2,...纹理的数目$ ）
（存储多边形表面的每一个顶点在相应纹理图像平面上的坐标（x,y））（确定顶点的颜色等材质属性）

纹理坐标表

法向表（ $n_a=(n_{x_a},n_{y_a},n_{z-a}),a=1,2,...法向数目$ ）
每个顶点的法向都取该面片的法向，则绘制生成的物体棱角分明
如果每个顶点处的法向取周围面片法向的平均，则生成光滑的表面
面片表（ $f_s=(<v_i,t_i,n_i>,<v_j,t_j,n_j>,<v_k,t_k,n_k>...) s=1,2,...面片数目$ ）
存储了物体表面上的所有面片，每一面片记录有指向该面片的各顶点，顶点的纹理坐标和法向的指针

法向表和面表

半边结构：

Half-Edge Structure : 可定向的二维流形及其子集

半边结构

半边结构

半边结构举例

半边结构举例

优势：查询时间 O (1) ，操作时间通常为O(1)
缺点：只能表示可定向流形，信息冗余
多边形表示的优势

优势

多变形表示的缺点

缺点

参数曲线曲面

直线段的参数表示：
直线段 $P_0=（x_0,y_0,z_0）$ ，直线段 $P_1=（x_1,y_1,z_1）$
则点R(t)可以表示为： $R(t) = (1-t)*P_0 + t*P_1$ （t在0-1范围内），并且 $R(0)=P_0，R(1)=P_1$ 。

直线段的分量表示

三维参数形式为：R(t) = (x(t), y(t), z(t))

参数曲线

即：参数空间的每一个t表示直线段上的每一个点R(t)。

直线段

双线性四边面片

曲面参数

参数范围

四边面片的四个顶点P0、P1、P2和P3对应于参数曲面的四个角点R(0, 0)、R(1, 0)、R(1, 0)和R(0, 1)

双线性四边面片

空间参数曲面：R(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))
即：参数空间中每一点(u,v)对应于曲面上一点R(u,v)
三维参数曲线形式：R(t)=(x(t),y(t),z(t))

参数曲面

Bezier 曲线

三次 Bezier 曲线

n次Bézier曲线：

$R(t)=\sum_{i=0}^nR_iB_{i,n}(t),0 \leq t\leq1$
(这里的R(t)是一个点函数，是关于 t 的函数！！！)
(R_i 是控制点，是点的坐标)
其中 $R_iB_{i,n}(t)$ 称为Bernstein基函数

$B_{i,n}(t)=C_n^i(1-t)^{n-i}t^i$

$C_n^i=\frac{n!}{i!(n-i)!}$
性质：

端点插值 $R(0)=R_0，R(1)=R_n$
端点切向

$R'(0)=n(R_1-R_0)$

$R'(1)=n(R_n-R_{n-1})$
对称性：
曲线的控制顶点的几何地位是对称的   $\sum_iR_{n-i}B_{i,n}(t)=\sum_iR_iB_{i,n}(t)$
凸包性：曲线位于绘制多边形的凸包内

Bezier 曲线的凸包性

几何不变性：其形状仅仅与控制多边形有关，与坐标系无关
Bezier曲线采用递归剖分控制多边形的方法生成，这一剖分算法被称作de Cateljau算法。
每一次都遍历一遍相邻的控制点，根据给定参数在两相邻控制点形成的线段上取一个新的控制点。
每遍历一遍当前的控制点后生成的新控制点会更加逼近Bezier曲线，且控制点的数量会减1，当最后只剩一个控制点时，可以将这个控制点视为Bezier曲线上的点。
如果我们取不同的t，就能够进行多次剖分，最终生成足够多的点去绘制一个曲线，这个曲线就近似为Bezier，单次剖分算法过程描述如下：

Bezier 曲线剖分算法描述

t=0.5 时的Bezier 曲线剖分

等边三角形的形成图：

t0 为0.5 的条件下Bzier曲线的剖分图

剖分生成的曲线（每次剖分，曲线会被分成两段新的Bezier曲线）：

$\begin{cases} R^{left}(t)=\sum_{s=0}^nR_0^{(s)}B_{s,n}(t)\\ R^{right}(t)=\sum_{s=0}^nR_s^{(n-s)}B_{s,n}(t) \end{cases}$

Bezier

Bezier的不足：

Bezier的缺点

Bezier 曲线的习题：
输入：3 次Bezier曲线C(t)  的四个控制点坐标 $p_i(x_i,y_i)$ ,i=0,1,2,3, $0<t_0<1$
输出：C(t) 在t0 处分裂为两短C1(t)和 C2(t)，求对应两端曲线对应Bezier 形式的控制点，并显示三条对应的Bezier曲线和对应的控制多边形

输入示例

输出示例

参考代码：
#include <GL/glut.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define n 4 // 4 个顶点
#define N 10000.0  // 绘制曲线的线段数
int width=600;
int height=600;
double xx[n];
double yy[n];// 原始的点坐标
double Rx[n][n];
double Ry[n][n];
double t0;
double frac(double x)
{
return x>1?x*frac(x-1):1;
}// 阶乘
double Com(double x,double m)
{
return frac(x)/frac(m)/frac(x-m);
}// 组合数
double R(double t,double* x)
{
double ret=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
      ret+=x*(Com(n-1,i)*pow(1-t,n-i-1)*pow(t,i));
}
return ret;
}// R(t)
void input()
{
for(int i=0;i<n;i++)
{
      scanf(&#34;(%lf,%lf)\n&#34;,&Rx[0],&Ry[0]);
      xx=Rx[0];
      yy=Ry[0];
}
scanf(&#34;%lf&#34;,&t0);
}
void bezier()
{
for(int i=1;i<n;i++)
{
      for(int j=0;j<n-i;j++)
      {
         Rx[j]=(1-t0)*Rx[i-1][j]+t0*Rx[i-1][j+1];
         Ry[j]=(1-t0)*Ry[i-1][j]+t0*Ry[i-1][j+1];
         //printf(&#34;%lf,%lf\n&#34;,Rx[j],Ry[j]);
      }
}
}
void drawControlPoint()
{
glColor3f(1.0f,0.0f, 0.0f);// 红色
GLfloat curSizeLine=8;
glLineWidth(curSizeLine);
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for(int i=0;i<n;i++)
{
      glVertex3f(Rx[0],Ry[0],0.0f);
      //printf(&#34;(%lf,%lf)\n&#34;,Rx[0],Ry[0]);
}
//printf(&#34;\n&#34;);
glEnd();
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for(int i=0;i<n;i++)
{
      glVertex3f(Rx[n-1-i],Ry[n-i-1],0.0f);
      //printf(&#34;(%lf,%lf)\n&#34;,Rx[n-1-i],Ry[n-i-1]);
}
glEnd();
}
void reshape(GLsizei w,GLsizei h)
{
if (h==0) {
      h=1;
}
glViewport(0, 0, w, h);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();

if (w<=h) {
   glOrtho (0.0f,250.0f, 0.0f,250.0f*h/w, 1.0f, -1.0f);
}else
{
   glOrtho (0.0f,250.0f*w/h, 0.0f,250.0f, 1.0f, -1.0f);
}
glMatrixMode(GL_MODELVIEW);
glLoadIdentity();
}

void display()
{
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT);
// 画控制点
drawControlPoint();
//设置当前绘图使用的颜色
glColor3f(0.0f,0.0f, 0.0f);// 黑色的曲线
// 开始画连续的直线
GLfloat curSizeLine=5;
glLineWidth(curSizeLine);
glBegin(GL_LINE_STRIP);

for(int i=0;i<=N;i++)
{
      glVertex3f(R(i/N,xx),R(i/N,yy),0.0f); // 取遍所有的t (t在0到1之间)
}
//glVertex3f(Rx[3][0]+i*dx,Ry[3][0]+i*dy,0.0f);
glEnd();
glFlush();
}

int main(int argc,char**argv)
{
input();
bezier();

glutInit(&argc,argv);
glutInitDisplayMode (GLUT_SINGLE |GLUT_RGB |GLUT_DEPTH);
glutInitWindowPosition(100,100);
glutInitWindowSize(width,height);
glutCreateWindow(&#34;hdbone_three_bezier_curve&#34;);

glutDisplayFunc(display);
glutReshapeFunc(reshape);
glClearColor(1.0f,1.0f, 1.0f,1.0f);
glutMainLoop();

}编译，链接，并运行指令（不要忘记链接math.h）：
gcc -o demo1 demo1.c -lGL -lGLU -lglut -lm && ./demo1测试样例：

测试样例

测试结果

这里给出改进后的代码（用鼠标和键盘控制输入）：（Bezier.c）

#include <GL/glut.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>
#define N 10000.0  // 绘制曲线的线段数
#define Maxn 1000  // 最多1000个顶点

int width=1000;
int height=600;
int show_regression_point=0;
int show_controlpoint=1;
int show_curve=0;
int n=0; // 点的数目
int flag=0;
double xx[Maxn];
double yy[Maxn];// 原始的点坐标
double Rx[Maxn][Maxn];
double Ry[Maxn][Maxn];
double t0=0.5;
int button_kind = -1;
double frac(double x)
{
return x>1?x*frac(x-1):1;
}// 阶乘
double Com(double x,double m)
{
return frac(x)/frac(m)/frac(x-m);
}// 组合数
double R(double t,double* x)
{
double ret=0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
      ret+=x*(Com(n-1,i)*pow(1-t,n-i-1)*pow(t,i));
}
return ret;
}// R(t)
void bezier()
{
for(int i=1;i<n;i++)
{
      for(int j=0;j<n-i;j++)
      {
         Rx[j]=(1-t0)*Rx[i-1][j]+t0*Rx[i-1][j+1];
         Ry[j]=(1-t0)*Ry[i-1][j]+t0*Ry[i-1][j+1];
         //printf(&#34;%lf,%lf\n&#34;,Rx[j],Ry[j]);
      }
}
}
void display()
{
// 清除屏幕
glClear(GL_COLOR_BUFFER_BIT | GL_DEPTH_BUFFER_BIT);

//重新设置OpenGL窗口：原点位置为左上角，x轴从左到右，y轴从上到下，坐标值与像素坐标值相同
glViewport(0, 0, (GLsizei)width, (GLsizei)height);
glMatrixMode(GL_PROJECTION);
glLoadIdentity();
gluOrtho2D(0, width, height, 0);

if(show_controlpoint==1){
      glPointSize(2);
      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      glColor3f(1.0f, 1.0f, 1.0f);
      for(int i=0;i<n;i++)
      {
         glVertex2i(xx,yy);
      }
      glEnd();
}
if (flag){
      bezier();
}
if (show_curve==1){
      glColor3f(1.0f,0.0f, 0.0f);// 红色的曲线
      // 开始画连续的直线
      GLfloat curSizeLine=2;
      glLineWidth(curSizeLine);
      glBegin(GL_LINE_STRIP);

      for(int i=0;i<=N;i++)
      {
         glVertex3f(R(i/N,xx),R(i/N,yy),0.0f);
      }
      glEnd();
}
if (show_regression_point==1)
{
      glColor3f(0.0f,1.0f, 1.0f);// 蓝色
      GLfloat curSizeLine=2;
      glLineWidth(curSizeLine);

      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      for(int i=0;i<n;i++)
      {
         glVertex3f(Rx[0],Ry[0],0.0f);
      }
      glEnd();

      glBegin(GL_LINE_STRIP);
      for(int i=0;i<n;i++)
      {
         glVertex3f(Rx[n-1-i],Ry[n-i-1],0.0f);
      }
      glEnd();
}
//双缓存交换缓存以显示图像
glutSwapBuffers();
//每次更新显示
glutPostRedisplay();
}

void mouse_hit(int button, int state, int x, int y)
{
//鼠标操作种类赋值
button_kind = button;

//鼠标操作基本结构
switch (button)
{
case GLUT_LEFT_BUTTON: //左键操作，也可为数字0
if (state == GLUT_DOWN) //左键按下时
{
//记录按键位置
Rx[0][n]=x;
         Ry[0][n]=y;
         xx[n]=Rx[0][n];
         yy[n]=Ry[0][n];
         n++;
}
break;
case GLUT_RIGHT_BUTTON: //右键操作，也可为数字1
if (state == GLUT_DOWN) //右键按下时
{
flag=1;
         show_curve=1;
         show_regression_point=1;
}
break;
default:
break;
}
}
void myKeyBoard(unsigned char key,int x,int y)
{
switch(key){
      case &#39;1&#39;:
         show_controlpoint=-show_controlpoint;
         break;
      case &#39;2&#39;:
         show_curve=-show_curve;
         break;
      case &#39;3&#39;:
         show_regression_point=-show_regression_point;
         break;
      case &#39;0&#39;:
         n=0;
         flag=0;
         show_curve=0;
         show_regression_point=0;
         break;
}
}
int main(int argc,char**argv)
{
glutInit(&argc, argv);
glutInitDisplayMode(GLUT_DOUBLE | GLUT_RGB);
glutInitWindowSize(width, height);
glutInitWindowPosition(100, 100);
glutCreateWindow(&#34;Hdbone_bezier&#34;);
glutDisplayFunc(display);
glutMouseFunc(mouse_hit);
      glutKeyboardFunc(myKeyBoard);
glutMainLoop();
}

按下按键  &#39; 1 &#39;，是否显示控制点连成的折线

按下按键  &#39; 2 &#39;  , 是否显示Bezier 曲线

按下按键  &#39; 3 &#39; ,是否显示迭代的点组成的折线

按下按键  &#39; 0 &#39;  , 表示删除上一次绘制的Bezier曲线

编译指令：gcc -o Bezier Bezier.c -lGL -lGLU -lglut -lm && ./Bezier

B- 样条曲线  (B-Spline)

B- 样条曲线是分段连续的多项式曲线，定义和节点向量有关

三次（四阶）B-样条曲线

定义在节点向量 $u=$ { $u_0,u_1,...,u_i,...,u_{n+k+1}$ } 的k次（k+1阶），具有(n+1)个控制顶点的B-样条曲线：

$R(u)=\sum_{i=0}^nR_iN_{i,k}(u),u\in [u_k,u_{n+1}]$
如上面的三次（四阶）B- 样条曲线：有四个顶点，三次函数，8个控制顶点

是控制顶点，{  } $i=0,1,...,n$   顺次连接称为曲线的控制多边形

B- 样条基函数

B- 样条曲线具有凸包性和几何不变性

曲线的两个端节点的重复度是k+!

三次B- 样条曲线的局部性质

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计算机图形学 几何表示与Bezier 曲线

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