【图像处理】轻松搞懂图像锐化

JoshWindsor · 发表于 2022-4-27 14:23

图像锐化的目的是使模糊图像变清晰，方法可以大致分为两类：微分法、高频加重滤波法。其中微分法可以分为梯度法、Sobel算子法、Laplace算子法。
在做图像锐化时要注意，处理的图像必须有较高的信噪比，否则锐化会使噪声收到比信号还强的增强，一般先降噪后锐化。
微分法

微分运算是求信号的变化率，加强高频分量，使图像轮廓清晰。希望通过导数运算使边缘和轮廓变清晰，这就要求该导数运算是各向同性的（旋转不变性），可以证明偏导数的平方和运算具有此性质。

梯度法

对于图像 $f(x,y)$ ,在点 $(x,y)$ 处的梯度是一个矢量，定义为 $G\left[ f\left( x,y \right) \right] =\left[ \begin{array}{c} \frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \end{array} \right]$ 。
梯度的幅度表示为 $G[f(x,y)]=[(\frac{\partial f}{\partial x})^2+(\frac{\partial f}{\partial y})^2]^{1/2}$
对于数字图像而言， $G\left[ f\left( x,y \right) \right] =\left\{ \left[ f\left( i,j \right) -f\left( i+1,j \right) \right] ^2+\left[ f\left( i,j \right) -f\left( i,j+1 \right) \right] ^2 \right\} ^{1/2}$ ，
该式可以简化成 $G\left[ f\left( x,y \right) \right] =\left| f\left( i,j \right) -f\left( i+1,j \right) \right|+\left| f\left( i,j \right) -f\left( i,j+1 \right) \right|$

各个像素的位置

图像的最后一行（列）的梯度无法求得，一般用前一行（列）的梯度代替。
当梯度计算完之后，可以根据需要生成不同的梯度增强图像，
1）第一种， $g\left( x,y \right) =G\left[ f\left( x,y \right) \right]$ ，只显示灰度变化大的边缘轮廓，灰度变化平缓的呈黑色。
2）第二种， $g\left( x,y \right) =\left\{ \begin{array}{c} G\left[ f\left( x,y \right) \right] &,G\left[ f\left( x,y \right) \right] \ge thresh\\ f\left( x,y \right) &, otherwise\\ \end{array} \right.$
可以显示出非常明显的边缘轮廓，又不会破坏原灰度变化平缓的背景。
3）第三种， $g\left( x,y \right) =\left\{ \begin{matrix} L_G& ,G\left[ f\left( x,y \right) \right] \ge thresh\\ f\left( x,y \right)& ,otherwise\\ \end{matrix} \right.$
边缘轮廓用固定的灰度级 $L_G$ 表示。
4）第四种， $g\left( x,y \right) =\left\{ \begin{matrix} G\left[ f\left( x,y \right) \right]& ,G\left[ f\left( x,y \right) \right] \ge thresh\\ L_G& ,otherwise\\ \end{matrix} \right.$
背景用固定灰度级 $L_G$ 表示，便于研究边缘灰度的变化。
5）第五种， $g\left( x,y \right) =\left\{ \begin{matrix} L_G& ,G\left[ f\left( x,y \right) \right] \ge thresh\\ L_B& ,otherwise\\ \end{matrix} \right.$
将背景和边缘用二值图像表示，便于研究边缘所在位置。

2. Sobel算子
采用梯度微分锐化图像，会让噪声、条纹得到增强，Sobel算子在一定程度上解决了这个问题， $S_x=\left[ f\left( i+1,j-1 \right) +2f\left( i+1,j \right) +f\left( i+1,j+1 \right) \right] \\ -\left[ f\left( i-1,j-1 \right) +2f\left( i-1,j \right) +f\left( i-1,j+1 \right) \right] \\ S_y=\left[ f\left( i-1,j+1 \right) +2f\left( i,j+1 \right) +f\left( i+1,j+1 \right) \right] \\ -\left[ f\left( i-1,j-1 \right) +2f\left( i,j-1 \right) +f\left( i+1,j-1 \right) \right]$
从这个式子中，可以得到两个性质，

Sobel引入了平均的因素，因此对噪声有一定的平滑作用
Sobel算子的操作就是相隔两个行（列）的差分，所以边缘两侧元素的得到了增强，因此边缘显得粗而亮。

Sobel算子表示形式为：

$H_1=\left[ \begin{matrix} -1& 0& 1\\ -2& 0*& 2\\ -1& 0& 1\\ \end{matrix} \right] \,\, H_2=\left[ \begin{matrix} -1& -2& -1\\ 0& 0*& 0\\ 1& 2& 1\\ \end{matrix} \right]$

3. 拉普拉斯算子（二阶微分）
拉普拉斯运算也是各向同性的线性运算。拉普拉斯算子为： $\nabla ^2f=\frac{\partial ^2f}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2f}{\partial y^2}$ ,锐化之后的图像 $g=f-k \nabla ^2f$

$k$ 为扩散效应的系数。

$\begin{align*} \frac{\partial ^2f\left( x,y \right)}{\partial x^2} &= \nabla _xf\left( i+1,j \right) -\nabla _xf\left( i,j \right) \\ &= \left[ f\left( i+1,j \right) -f\left( i,j \right) \right] -\left[ f\left( i,j \right) -f\left( i-1,j \right) \right] \\ &= f\left( i+1,j \right) +f\left( i-1,j \right) -2f\left( i,j \right) \\ \frac{\partial ^2f\left( x,y \right)}{\partial y^2}&=f\left( i,j-1 \right) +f\left( i,j+1 \right) -2f\left( i,j \right)\\ \end{align*}$

$\begin{align} \nabla ^2f &=\frac{\partial ^2f\left( x,y \right)}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2f\left( x,y \right)}{\partial y^2} \\ &=-5\left\{ f\left( i,j \right) -\frac{1}{5}\left[ f\left( i+1,j \right) +f\left( i-1,j \right) +f\left( i-1,j-1 \right) +f\left( i+1.j+1 \right) +f\left( i,j \right) \right] \right\} \end{align}$
由此式可知，数字图像在  点的拉普拉斯算子，可以由该点的灰度值减去该点及其邻域四个点的平均灰度值求得。
拉普拉斯算子的模板图可表示为：

$H=\left[ \begin{matrix} 0& -1& 0\\ -1& 4& -1\\ 0& -1& 0\\ \end{matrix} \right]$
还有其他的常用拉普拉斯模板：

$H=\left[ \begin{matrix} -1& -1& -1\\ -1& 8& -1\\ -1& -1& -1\\ \end{matrix} \right]$

高通滤波

高通滤波法采用高通滤波器让高频分量通过，使图像的边缘和线条变得清楚，实现锐化。
高通滤波器而用空域法和频域法实现，在空间域使用卷积方法，模板如

$H=\left[ \begin{matrix} -1& -1& -1\\ -1& 9& -1\\ -1& -1& -1\\ \end{matrix} \right]$
可以看出和拉普拉斯算子基本相同。

个人理解：为了能够让高频通过，  点与其四个邻域点应该满足可以过零的性质，因为导数跨零，原函数曲线不会是单调的，必然会在零点处改变单调性，产生高频效果。

代码

Sobel算子
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

plt.subplot(1, 2, 1)
img = cv2.imread(&#34;image.jpg&#34;, 0)  # 0为灰度图
plt.imshow(img)

plt.subplot(1, 2, 2)
depth = cv2.CV_16S
#求X方向梯度（创建grad_x, grad_y矩阵）
grad_x = cv2.Sobel( img, depth, 1, 0 )
abs_grad_x = cv2.convertScaleAbs( grad_x )

#求Y方向梯度
grad_y = cv2.Sobel( img, depth, 0, 1 )
abs_grad_y = cv2.convertScaleAbs( grad_y )

#合并梯度
sobel_img = cv2.addWeighted( abs_grad_x, 0.5, abs_grad_y, 0.5, 0 )

plt.imshow(sobel_img)
plt.show()

灰度图以及 Sobel算子

Laplace算子
import cv2
import matplotlib.pyplot as plt

plt.subplot(1, 2, 1)
img = cv2.imread(&#34;image.jpg&#34;, 0)  # 0为灰度图
plt.imshow(img)

plt.subplot(1, 2, 2)
depth = cv2.CV_16S
kernel_size = (3, 3)  # 模板大小
scale = 1  # 扩散系数
laplace_img = cv2.Laplacian(img, depth, kernel_size, scale=scale)

plt.imshow(laplace_img)
plt.show()

灰度图以及 Laplace算子

mypro334 · 发表于 2022-4-27 14:30

噢……我的天……高等数学
[思考]

kyuskoj · 发表于 2022-4-27 14:37

请问大佬有什么边缘增强的综述性文章吗

super1 · 发表于 2022-4-27 14:41

emmm，不是很清楚，我是看的数字图像处理书。文章可以搜一搜百度学术和谷歌学术

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