Unity面试题学习笔记（14）——U3D数学向量篇

zifa2003293

1.向量：

概念：

• 标量：有数值大小，没有方向。
  
• 向量：有数值大小，有方向的矢量（一维，二维，三维....）。
  

几何意义：

        //Vector3有两种几何意义
        //1.位置 —— 代表一个点
        Debug.Log(transform.position);
        //2.方向 —— 代表一个方向
        Debug.Log(transform.forward);
        Debug.Log(transform.up);
        Debug.Log(transform.right);
两点决定一向量：

        //从A指向B的向量为AB向量
        //B - A = Vector3（AB）
        //从B指向A的向量为BA向量
        //A - B = Vector3（BA）
        //终点减起点

        //A和B此时几何意义是两个点
        Vector3 A = new Vector3(1, 2, 3);
        Vector3 B = new Vector3(5, 1, 5);
        //求向量,此时AB和BA的几何意义是两个向量
        Vector3 AB = B - A;
        Vector3 BA = A - B;

        //求另一个物体到本物体的向量
        //transform.position - target.transform.position
零向量和负向量：

零向量：（0,0,0），唯一一个大小为0的向量。
负向量：

• （x,y,z）的负向量为（-x,-y,-z）。
  
• 负向量和原向量大小相等。
  
• 负向量和原向量方向相反。
  

        //零向量
        Debug.Log(Vector3.zero);
        //负向量
        Debug.Log(-Vector3.forward);
向量的模长：

• 向量的模长就是向量的长度。
  
• 向量是由两个点算出，所以向量的模长就是两个点的距离。
  
• 模长公式（求Vector3 A（x,y,z）的模长）：
  

模长=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}
        //Vector3中提供了获取向量模长的成员属性
        //magnitude
        Debug.Log(AB.magnitude);
        //和Vector3.Distance(A, B);的结果一样
        Vector3 C = new Vector3(1, 5, 7);
        Debug.Log(C.magnitude);
单位向量：

• 模长为1的向量为单位向量。
  
• 任意一个向量经过归一化就是单位向量。
  
• 只需要方向，不想让模长影响计算结果时使用单位向量。
  
• 归一化公式（求Vector3 A（x,y,z）的单位向量）：
  

单位向量=（x/模长,y/模长,z/模长）
        //返回一个单位向量
        Debug.Log(C.normalized);

        //将原向量变为单位向量
        Debug.Log(C);
        C.Normalize();
        Debug.Log(C);
2.向量的运算：

向量加法：

公式：向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）,则A + B = (Xa + Xb,Ya + Yb,Za + Zb)。
几何意义：

• 位置+位置：没有任何几何意义。
  
• 向量+向量：两个向量相加得到一个新向量（向量相加，首尾相连）。
  
• 位置+向量：位置加向量得到一个新的位置（位置和向量相加=平移位置，沿着向量的方向移动向量模长的距离）。
  

向量减法：

公式：向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）,则A - B = (Xa - Xb,Ya - Yb,Za - Zb)。
几何意义：

• 位置-位置：两个位置相减得到一个新向量（两点决定一向量，详情看上一节）。
  
• 向量-向量：两个向量相减得到一个新向量（向量相减，头连头，尾指尾，A - B = B头指A头）。
  
• 位置-向量：位置减向量相当于加负向量（实际意义和位置+向量相同，只不过方向相反）。
  
• 向量-位置：没有任何意义。
  

向量乘除法：

向量只会和标量进行乘除法运算。
几何意义：

• 向量 */ 标量 = 向量
  
• 向量 */ 正数 = 方向不变，放大缩小模长
  
• 向量 */ 负数 = 方向相反，放大缩小模长
  
• 向量 * 0 = 得到零向量
  

3.点乘：

公式：

向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）
A · B = Xa * Xb + Ya * Yb + Za * Zb
向量 · 向量 = 标量
几何意义：

点乘可以得到一个向量在自己向量上投影的长度。（B · A是向量A在向量B上投影的长度再乘上B向量的模长）



点乘的几何意义

• 点乘结果 > 0，两个向量夹角为锐角
  
• 点乘结果 = 0，两个向量夹角为直角
  
• 点乘结果 < 0，两个向量夹角为钝角
  

测试画线：

        //画线段（起点，终点）
        Debug.DrawLine(transform.position, transform.position + transform.forward, Color.green);
        //画射线（起点，方向）
        Debug.DrawRay(transform.position, transform.up, Color.red);
通过点乘判断对象方位：

        Debug.DrawRay(this.transform.position, this.transform.forward, Color.red);
        Debug.DrawRay(this.transform.position,
(enemy.transform.position - this.transform.position).normalized,
Color.blue);
        //得到两个向量的点乘结果
        //向量a 点乘 向量AB的结果
        float dotProduct = Vector3.Dot(transform.forward,
(enemy.transform.position - this.transform.position).normalized);
        if(dotProduct > 0)
        {
            Debug.Log("前方");
        }
        else if(dotProduct == 0)
        {
            Debug.Log("右方");
        }
        else if(dotProduct < 0)
        {
            Debug.Log("后方");
        }
公式推导：




点乘公式推导出角度

角度 = Acos(单位向量A · 单位向量B)
        //求玩家到目标的向量
        Vector3 dis = (enemy.transform.position - this.transform.position).normalized;
        //第一步，用单位向量算出点乘结果
        Mathf.Acos(Vector3.Dot(dis, transform.forward));
        //第二步，用反三角函数得出角度
        float angle = Mathf.Acos(Vector3.Dot(dis, transform.forward)) * Mathf.Rad2Deg;
        Debug.Log(angle);

        //直接使用API
        Debug.Log(Vector3.Angle(dis, transform.forward));
总结：

向量点乘对于游戏开发的意义：

• 判断对象的方位。
  
• 计算两个向量之间的夹角。
  

4.叉乘：

公式：

向量A（Xa,Ya,Za），向量B（Xb,Yb,Zb）
A × B = （YaZb - ZaYb,ZaXb-XaZb,XaYb-YaXb）
向量 × 向量 = 向量
叉乘计算：

//crossProduct是一个Vector3类型的变量
crossProduct = Vector3.Cross(A.position, B.position);
几何意义：

• A × B 得到的向量同时垂直A和B。
  
• A × B 向量垂直于A和B组成的平面（法向量）。
  
• 法向量的方向在Unity中遵循左手定理（用左手的四指先表示向量a的方向，然后手指朝着手心的方向摆动到向量b的方向，大拇指所指的方向就是向量c的方向，注意旋转角度不得超过180°，或者说应该选择旋转量较小的一方）。
  
• A × B = -（B × A）
  

叉乘向量的方向：

正右负左
        //假如向量A和B都在 XZ平面上
        //向量A 叉乘 向量B
        //y大于0 证明 B在A的右侧
        //y小于0 证明 B在A的左侧
        crossProduct = Vector3.Cross(A.position, B.position);
        if(crossProduct.y > 0)
        {
            Debug.Log("右侧");
        }
        else if(crossProduct.y < 0)
        {
            Debug.Log("左侧");
        }
总结：

向量叉乘对于我们的意义：

• 得到一个平面的法向量。
  
• 得到两个向量之间的左右位置关系。
  

当使用点乘或叉乘来判断两个物体的相对方向时：

• 点乘用的两个向量分别是本物体的forward（transform.forward）和参照物体与本物体之间的向量(target.position - this.transform.position)，且点乘的结果与向量顺序无关。
  
• 叉乘用的两个向量分别是本物体的position和参照物体的position，叉乘结果和向量顺序有关（Vector3.Cross(本物体位置，参照物体位置)），保持顺序才能获得参照物体对于本物体的位置。
  

5.向量插值：

线性插值：

概念：
Vector3.Lerp(start,end,t);
对两点进行插值计算，t的取值范围为0 - 1。
应用：

• 1.每帧改变start的值（先快后慢）
  
• 2.每帧改变t的值（匀速）
  

        //result = start + (end - start) * t

        //1.先快后慢
        A.position = Vector3.Lerp(A.position, target.position, Time.deltaTime);

        //2.匀速
        if(targetPos != target.position)
        {
            targetPos = target.position;
            starPos = B.position;
            //为什么不用Time.time？
            //因为Time.time会不断增加，且无法置零。所以用可以置零的自定义float变量。
            m_time = 0;
        }
        m_time += Time.deltaTime;
        B.position = Vector3.Lerp(starPos, targetPos, m_time);
球形插值：

概念：
Vector3.Slerp(start,end,t)

• 对两个向量进行插值计算，t的取值范围为0-1。
  
• 线性插值是平移，直线运动；球形插值是旋转，弧形运动。
  

应用：
和Lerp相同，只是API和运动轨迹不同。
        //1.先快后慢
        A.position = Vector3.Slerp(A.position, target.position, Time.deltaTime);

        //2.匀速
        if (targetPos != target.position)
        {
            targetPos = target.position;
            starPos = B.position;
            m_time = 0;
        }
        m_time += Time.deltaTime;
        B.position = Vector3.Slerp(starPos, targetPos, m_time);