2022数学建模国赛B题思路和论文：基于自适应遗传算法的 ...

JoshWindsor · 发表于 2022-9-18 18:18

针对建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型之间的关系并设置体型校正系数的问题，本文首先以非刚体动力学为基础，简化跳水动作为m 周翻腾与n 周转体的集合，通过简化随时间变化的欧拉方程建立起kick 动力学模型；其次，运用生物力学求解出跳水时间与运动员体型的关系，并对模型的分析结果进行均一化处理，得到体型校正系数，具有一定的公平性；最后运用自适应遗传算法重新给出一套新的难度系数评价体系。
问题一中，本文首先通过拟合模型对国际泳联十米跳台跳水难度系数进行了趋势拟合，在对其进行充分的讨论后，得出了对解决下面问题有帮助的一些合理的结论。诸如跳水运动中，翻腾周数与转体周数之和不大于6 周；没有转体动作时，总难度系数与翻腾周数成正相关，而加入转体动作后，总难度系数将变为并不总与翻腾周数成正相关；在考虑总的难度系数DD 时，应着重考虑翻腾周数的难度系数A、空中姿势的难度系数B 和转体周数的难度系数C 等重要结论。
问题二中，本文利用非刚体动力学，简化随时间变化的欧拉方程，对运动员跳水动作中的翻腾与转体过程进行了动力学系统分析。通过kick 动力学模型，本文首先得到了运动员完成各个跳水动作的时间随初始角动量与惯性矩等参数的关系；然后，本文的亮点在于通过文献资料法、数理统计法与拟合模型得出了初始角动量随运动员身高、体重的关系；最后，通过生物力学方法简化了运动员的身体模型，得到了各个空中姿态下的惯性矩；进而本文可以建立出完成各个跳水动作时间与运动员体型之间的关系模型。结果如下：

经MATLAB 求解，在各个空中姿态下，运动员完成每个跳水动作的时间都与其身高、体重呈正相关关系，但没有转体动作的纯翻腾动作受运动员体重的影响并不大，且大多数跳水动作所需的时间都在1.7-2.3s 的范围内，如图9-图15 所示。模型对不同空中姿态下5x35、x03 系列动作进行了验证，发现对于体重在35kg-70kg、身高在1.4m-1.7m 范围内的运动员，完成一套跳水动作所需的时间明显受运动员体重与身高的影响，最大影响约为35.29%左右。
问题三中，本文对问题二的模型结果进行了均一化处理，即为不同身高、体重的运动员分配不同的体型校正系数，使其完成跳水动作的时间与体型校正系数的乘积尽可能相同。通过讨论可知，体型校正系数完全消去跳水时间模型中的身高、体重参量时为最优，继而本文将体型校正系数转化为了一个与跳水时间呈负相关关系的、以运动员翻腾与转体周数、身高与体重为自变量的函数模型。模型对不同空中姿态下5x35、x03 系列动作进行了验证，发现对于体重在35kg-70kg范围内、身高在1.4m-1.7m 范围内的运动员，修正后的模型几乎不受运动员体重与身高的影响，其波动仅为±1.05%左右，具有一定的公平性。
问题四中，本文基于问题二的模型建立了新的难度系数评价指标。首先，本文通过翻腾周数、转体周数及跳水时间来评价翻腾与转体动作的难度系数A′，并且利用遗传算法求解了A′表达式中的未知参量；其次，分别用B′、C′校正由于空中姿势、起跳姿势的不同造成的难度系数变化；然后，用D′、E′分别表示起跳前正面朝向以及翻腾方向的难度系数与入水过程的难度系数；最后，用A′、B′、C′、D′、E′五个难度系数之和综合评定各个跳水动作的难度系数。通过对26 组跳水动作的验证，对于只有翻腾没有转体的跳水动作，模型得出的结果与附件1中规定的难度系数基本没有区别，如307C 原难度系数为3.4，新难度系数为3.5。
然而，对于既有翻腾又有转体的跳水动作，模型得出的结果与附件1 中规定的难度系数存在着比较明显的区别，并且随着翻腾周数与转体周数总和的增加，这一区别越来越大，二者的难度系数差最高达到0.5，如5275B 原难度系数为4.2，新难度系数高达4.7。这是因为在本文的难度评价模型中，对于既有翻腾又有转体的跳水动作，翻腾周数及转体周数的总和越大，该动作的难度系数越大，且难度系数的增长速度也逐渐变快。
关键词：kick 动力学模型；生物力学；自适应遗传算法；非刚体动力学
1.问题重述
1.1问题背景
国际泳联在跳水竞赛规则中规定了不同跳水动作的代码及其难度系数（见附件 1 ），它们与跳水运动员的起跳方式（起跳时运动员正面朝向、翻腾方向）及空中动作（翻腾及转体圈数、身体姿势）有关。裁判员们评分时，根据运动员完成动作的表现优劣及入水效果，各自给出从 10 到 0 的动作评分，然后按一定公式计算该运动员该动作的完成分，此完成分乘以该动作的难度系数即为该运动员该动作的最终得分。
1.2问题分析
因此，出于公平性考虑，一个跳水动作的难度系数应充分反映该动作的真实难度。但是，有人说，瘦小体型的运动员在做翻腾及转体动作时有体型优势，应当设置体型系数予以校正，请通过建模分析，回答以下问题：
1.研究分析附件 1 的 APPENDIX 3 4 ，关于国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则，你们可以得到哪些对解决以下问题有意义的结论？
2.请应用物理学方法，建立模型描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型（身高，体重）之间的关系。
3.请根据你们的模型说明，在 10 米跳台跳水比赛中设置体型校正系数有无必要。如果有，校正系数应如何设置？
4.请尝试基于你们建立的上述模型，给出表 1 中所列的十米跳台跳水动作的难度系数。你们的结果与附件 1 中规定的难度系数有无区别？如果有区别，请作出解释。
2.模型假设和符号说明
2.1 模型假设
a) 假设运动员在跳水过程中，身体由均被视为刚体的三部分组成，分别为躯体、左臂、右臂，各刚体部分可进行相对运动。
b) 假设运动员所能进行的所有跳水动作均由起跳、翻腾、姿态改变、转体、入水五部分组成，各部分进行的次数视具体跳水动作而定（可以进行0 次）。
c) 假设运动员在整个跳水动作中，起跳、姿态改变、入水均瞬间完成，跳水动作所需的时间全部用于翻腾、转体部分。
d) 假设运动员在整个跳水动作中所受的合外力为零，跳水过程中运动员角动量守恒、能量守恒。
e) 假设所有运动员身体密度相同，且质量分布均匀。
f) 忽略一切其它次要因素，仅只考虑纯粹的非刚体系统动力学问题。

3.问题一的分析与建模
3.1 问题一的分析
根据题目，要根据附件一给出的是关于国际泳联十米跳台跳水不同动作的难度系数的确定规则，得到解决其他问题的有意义的结论。因此，本文首先把握全部问题的关键信息，进而在附件一中寻找相关的资料。如题所示，问题二所求的是应用物理学的方法，通过建立模型来描述运动员完成各个跳水动作的时间与运动员体型（身高、体重）之间的关系；问题三是在问题二的基础上设置体型校正系数；问题四是基于上述所建模型，给出部分动作的难度系数并和附件一中的作比较。在附件一中，已知总难度系数DD A B C D E。其中 A 表示翻腾周数的难度系数、B 表示空中姿势的难度系数、C 表示转体周数的难度系数、D表示助跑方式难度系数、E 表示入水特点难度系数。
本文对附件1 中《国际泳联十米跳台跳水难度系数的确定规则》开展了一系列分析研究，并得到了一些对解决后续问题有意义的结论，结论将详述于本文的3.2 小节。下面将展现对附件一的分析过程：
i．对翻腾周数的难度系数A 的分析：
如图1 所示，翻腾周数的难度系数A 与翻腾周数近似成正相关关系。其中，翻腾1 周半与2 周、2 周半与3 周、3 周半与4 周以及4 周半与5 周半之间难度系数有陡增，难度系数分别增加了0.4、0.4、0.8 和1。这表明每当运动员能够翻腾m 周（非整数周，即整数加半周）后，要想再翻腾半周，困难会大幅上升；对立地，如果运动员一开始能够翻腾 m 周（整数周），那么对于（m+0.5）周，运动员相对并不会感到很吃力；此外，翻腾4 周和4 周半的难度系数是一样的；翻腾5 周在附件一的表格中的难度系数并没有体现。

图1 10m 跳台跳水翻腾周数与翻腾周数的难度系数A 的关系
对于没有翻腾5 周的难度系数的情况，本文分析到，运动员正常跳水时，有起跳后（展开身体）和入水前（展开身体）的时间，如果运动员翻腾5 周后，头正好朝向跳台，会导致没有多余的时间来展开身体，来为入水做准备，这样就会导致入水水花大，从而分数低。比较而言，翻腾5 周半意味着运动员翻腾5周半后，头部刚好朝向水面，此时，顺势而入水，无需多余的时间做入水前的准备。同时，本文发现，起跳动作对翻腾周数难度系数的判定没有影响。
ii．对空中姿势的难度系数B 的分析：
由附件1 可知，空中姿势的难度系数共有直体、屈体、抱膝、翻腾兼转体的任意姿势和飞身这5 种分类；起跳动作共有面对池向前跳水（Fwd）、面对台向后跳水（Back）、面对池反身跳水（Rev）、面对台向内跳水（Inw）和臂立跳水（Arm）。臂力跳水又包括臂立面对池向前跳水（Arm.F）和臂立面对台向后或者面对池反身跳水（Arm.BR）。
飞身表示从跳台往下的瞬间的动作，不能够单独出现。可以与屈体b 或抱膝c 一起出现，即两者的难度系数相加。
运动员在选择空中姿势为翻腾兼转体的任意姿势后，当翻腾周数时，起跳动作避开面对台向内跳水；当翻腾周数时，起跳动作避开面对台向后跳水和面对池反身跳水。
运动员在选择空中姿势为抱膝或屈体且起跳动作为面对台向内跳水后，当翻腾周数时，需要将空中姿势改为飞身加屈体或飞身加抱膝。
iii．对转体周数的难度系数C 的分析：
由附件1 可知，转体周数难度系数C 是以翻腾周数m 加转体周数n 以及运动员的起跳动作为依据进行评定的。可以观察到，当转体周数为整数时，都不进行翻腾。换句话说，当转体周数不为整数时，可以边转体边翻腾。有固定的动作组合：
（1）翻腾半周并转体 n 周（）的跳水只能在采用直体、屈体或抱膝的空中姿势的情况下实现；
（2）翻腾一周或一周半并转体 n 周（）的跳水只能在采用翻腾兼转体的任意姿势的情况下实现；
（3）翻腾m 周（）或并转体n 周（）的跳水只能在采用屈体或抱膝的空中姿势的情况下实现；
（4）臂立起跳且翻腾一周或一周半或两周并转体一周或大于等于两周的跳水只能在采用翻腾兼转体的任意姿势的情况下实现；
（5）臂立起跳且翻腾 m 周（m >2.5 ）并转体一周的跳水只能在采用屈体或抱膝的空中姿势的情况下实现；如图2 所示，在起跳动作一致且翻腾周数相同的情况下，难度系数与转体周数成正相关；然而，在同一起跳动作的前提下，对于相同的转体周数，难度系数并不总与翻腾周数成正相关。

iv．对助跑方式难度系数 D 的分析：助跑方式难度系数并不总与翻腾周数成正相关关系。面对池向前跳水或臂立跳水时，难度系数随着翻腾周数的增加而增加面对台向内跳水时，难度系数随着翻腾周数的增加而减小面对池反身跳水时难度系数随着翻腾周数的增加先增加后减小。
v对入水特点难度系数 E 的分析：
入水时，不带转体。入水特点难度系数与翻腾周数近似成正相关关系。
vi对部分跳水动作的难度系数例子的分析：
如图 3 所示，显示的是不同空中姿势的 307 系列、 309 系列、 5371 系列以及5257和 6247 的比较。可以发现，当单单有翻腾动作时，在总的难度系数 DD 中，翻腾周数的难度系数 A 占的最多，远远高于其它几项的难度系数。且总难度系数 DD 随着翻腾周数的增大而增大；当加入转体动作后，在总的难度系数 DD 中，翻腾周数的难度系数 A 占的最多，其次是转体周数的难度系数，总难度系数 DD随着翻腾周数的增大或转体周数的增大而增大。同时横向比较各个系列，发现采用屈体的空中姿势的难度系数总比采用抱膝的空中姿势的难度系数大。

图3 对不同跳水动作的难度系数 A 、 B 、 C 、 D 和 E 在总难度系数 DD 中的占比
vii对附录 4 的分析：

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