高中数学必修二，立体几何图形出格多，想象力不够，怎么学？

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高中数学必修二，立体几何图形出格多，想象力不够，怎么学？

nygaozhan

实话实说，凭空想象出几个面真的很难，就算短时间速成，也没有从小学美术的空间想象力要好。但玩游戏会不会？玩游戏就能锻炼立体几何的空间想象力！

看各种基本几何体的三维动画，由滚动的几何体创立空间立体的第一印象，在脑海中建立起空间和立体的概念。
先说一个特别简单的，玩中就能学的，空间想象力这款小游戏还不错。游戏的设定类似于空间物体的三视图，也就是说，每一个关卡的设定只是给了玩家其中某一种角度的三维立体图，挑战点在于，你需要根据立体图的构造，思考左右两侧的物体构成，做到实时还原。


公务员考试都有这种题......这不就是立体几何经常考的三视图问题吗？再次，多玩点折纸、拼接。


但看清楚三视图只是刚刚开始，立体几何难的是证明题。

只是加一个辅助线，仿佛已经耗尽一生的时间。

找辅助线有技巧，这就来告诉你！

“有了中点配重点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”
如果还不是很能理解来看看例题：




再送你立体几何体解题技巧：

1、平行、垂直位置关系：
(1)由已知想性质，由求证想判定，分析法与综合法相结合
(2)利用题设条件性质添加辅助线
(3)三垂线定理及其逆定理证明线线垂直时优先考虑
2.空间角的计算方法与技巧:
一作、二证、三算（向量一证、二算）
(1)两条异面直线所成的角：平移法、补形法、向量法
(2)直线和平面所成的角
作出直线和平面所成的角，关键是作垂线，找射影转化到同一三角形中计算；公式计算。
(3)二面角
①平面角的作法：定义法；三垂线定理及其逆定理法；垂面法。
②平面角的计算法：
找到平面角，然后在三角形中计算(解三角形)或用向量计算；
射影面积法；
向量夹角公式。
3.空间距离的计算方法与技巧:
(1)求点到直线的距离：经常应用三垂线定理作出点到直线的垂线，然后在相关的三角形中求解，也可以借助于面积相等求出点到直线的距离。
(2)求两条异面直线间距离：一般先找出其公垂线，然后求其公垂线段的长。
(3)求点到平面的距离：一般找出(或作出)过此点与已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性质过该点作出平面的垂线，进而计算


再不懂得，点视频！免费给你讲！

<a href="http://www.zhihu.com/zvideo/1323216386256801792" data-draft-node="block" data-draft-type="link-card">注：图源网络

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这里整理了一份【高考数学】高中数学立体几何常考证明题汇总
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zhangjin

想象力不够？ 看起来似乎是立体几何学不好的原因，其实经不起推敲。
在我看来，这种归因，说难听些，很有误人子弟之嫌。


什么叫“良好的空间想象能力”，这本就是一个模糊的概念。
用一个未界定清楚的概念去解释一种现象是极度不负责任的，这导致的后果就是很多学生潜意识会做出这样的推理：

• 我的立体几何学不好 ->
  
• 因为我没有良好的空间想象能力 ->
  
• 良好的空间想象能力应该是天生的 ->
  
• 因此我立体几何学不好是天生比别人在这方面“笨”->
  
• 因此我再怎么努力也是徒劳的
  

而很多老师教不得法，让那些努力学习了的孩子仍旧取不得进步，于是，他们就更加相信上面的推理了，最终成为恶性循环。
在这里我想告诉这些努力了但没有收到效果的同学们一个好消息：不是你没有天分，而是你一直被错误地教导，你自己也在错误地归因，仅此而已。
事实上，你只要记住我总结的数学三招中的第3招-盯住目标和第1招-翻译就可以解决高考难度的所有立体集合题目了。
接下来，我用两道高考难度的例题带领大家学习下这两招，并说明如何灵活地运用他们。


（我希望同学们在看我的分析前，先自己试着解答一下，看看你能否做出来，如果做出来了，看看能否一题多解。）
在我们开始分析之前，我们先来了解下第3招 – 盯住目标。
事实上，任何解题的过程都是在已知（前提）和未知（结论）之间构建一个桥梁。
我们把未知或者题目要证明的结论统称为目标(purpose)。
解题的高手很清楚“有的放矢”这几个字， 我们往往不仅仅从已知出发正向构建桥梁，而是反过来从目标出发，反向构建桥梁：


在这个不断更新目标的过程中，我们反复问自己：
盯住目标 – 你能联想相关的定理，方法，定义吗？你能试着把目标和已知，前提结合吗？
这就是不断地调用学习过的知识的过程。
这第三招这样看起来很抽象，我们通过例1来说明就会清楚多了：
例1的第一问的目标就是求证EF 面GMC，这是一个求证线面垂直的问题。
我们利用第三招，从目标出发，问自己：盯住目标 – 你能联想相关的定理，方法，定义吗？
事实上，整个立体几何第一章空间的直线和平面的绝大多数定理可以用下图来总结：



图1. 本质教育空间直线与平面定理总结图

换句话说，要证明线面垂直，我们应该根据此图联想出以下几个定理：
（1）线线垂直->线面垂直：若直线若直线  与平面  内的两条相交直线垂直，那么
（2）线线平行->线面垂直：若直线  与平面  垂直，直线all   a
（3）面面垂直->线面垂直：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂 直于另一个平面
而联想出这3个定理，其实也对应着3种不同的证明方法：








(还有别的解法吗？你能够联想不同的定理吗，你能够用另一种方法“翻译”这个问题吗？提示：空间向量)
回顾我的解题思路，用到了所谓的“空间想象力”了吗？
完全没有！








通过例2，同学们应该知道这些辅助线不是胡乱猜出来的，而是根据我们的第三招，有的放矢的找出来的！
联想不同的定理，我们有不同的证明方法！
我们用到了所谓的“空间想象力”了吗？
还是没有！
这两题就是高考所能考察立体几何的难度，我们不仅能做，还能够用多种方法求解，这就是我总结的数学三招的妙处，而这3招正是数学哲学的一部分，是一流数学家解决问题的思维方式。

kicc

我去，想象力不够，各种方法来凑，听了这几个我觉得问题不大，小卡片，知识的黑洞，方法技巧应有尽有：
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01排点法秒杀立体几何
02三色法秒杀立体几何我
03连线法秒杀立体几何
看了这些我觉得你的立体几何问题不大了

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三视图绝招秒杀土豪三色法屌丝排点法【视频讲解】
连线法秒杀三视图问题【视频讲解】
三色法秒杀百分之90三视图题目
2、圆锥曲线篇
齐次化处理秒杀双斜率定点定值问题
圆锥曲线中神奇的化椭为圆仿射变换【视频讲解】第一讲
圆锥曲线中神奇的化椭为圆仿射变换【视频讲解】第二讲面积
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圆锥曲线中解决一类椭圆与双曲线共焦点问题
3、向量篇
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向量题型全归纳（1）三点共线定理【视频讲解】
向量题型全归纳（2）极化恒等式一多边形中【视频讲解】
向量题型全归纳（3）极化恒等式以圆为背景【视频讲解】
向量题型全归纳（4）极化恒等式以圆锥曲线为背景【视频讲解】
向量题型全归纳（5）等和线秒杀一类X+Y取值范围问题【视频讲解】
4、导数篇
泰勒公式秒杀高考导数压轴题
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5、立体几何篇
外接球内切球绝招第九招【视频讲解】
【数学超人】彻底搞定外接球内切球十种题型 必修三 立体几何【视频讲解】
6、二项式排列组合篇
什么？多项式定理都不会？从此三项式秒杀
排列组合另类隔板法【视频讲解】导数函数范围大招母函数神奇数字法排列组合另类隔板法【视频讲解】

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学习立体几何最重要的思想是：归面思想。将空间问题转化为平面问题去处理，一共涉及几个面？线与面是什么关系？面与面之间是什么关系？
第一：要建立空间观念，提高空间想象力

从认识平面图形到认识立体图形是一次飞跃，要有一个过程。有的同学自制一些空间几何模型并反复观察，这有益于建立空间观念，是个好办法。有的同学有空就对一些立体图形进行观察、揣摩，并且判断其中的线线、线面、面面位置关系，探索各种角、各种垂线作法，这对于建立空间观念也是好方法。此外，多用图表示概念和定理，多在头脑中“证明”定理和构造定理的“图”，对于建立空间观念也是很有帮助的。
第二：要掌握基础知识和基本技能

要用图形、文字、符号三种形式表达概念、定理、公式，要及时不断地复习前面学过的内容。这是因为《立体几何》内容前后联系紧密，前面内容是后面内容的根据，后面内容既巩固了前面的内容，又发展和推广了前面内容。在解题中，要书写规范，如用平行四边形ABCD表示平面时，可以写成平面AC，但不可以把平面两字省略掉；要写出解题根据，不论对于计算题还是证明题都应该如此，不能想当然或全凭直观；对于文字证明题，要写已知和求证，要画图；用定理时，必须把题目满足定理的条件逐一交待清楚，自己心中有数而不把它写出来是不行的。要学会用图（画图、分解图、变换图）帮助解决问题；要掌握求各种角、距离的基本方法和推理证明的基本方法——分析法、综合法、反证法。
第三：要不断提高各方面能力

通过联系实际、观察模型或类比平面几何的结论来提出命题；对于提出的命题，不要轻易肯定或否定它，要多用几个特例进行检验，最好做到否定举出反面例子，肯定给出证明。欧拉公式的内容是以研究性课题的形式给出的，要从中体验创造数学知识。要不断地将所学的内容结构化、系统化。所谓结构化，是指从整体到局部、从高层到低层来认识、组织所学知识，并领会其中隐含的思想、方法。所谓系统化，是指将同类问题如平行的问题、垂直的问题、角的问题、距离的问题、惟一性的问题集中起来，比较它们的异同，形成对它们的整体认识。牢固地把握一些能统摄全局、组织整体的概念，用这些概念统摄早先偶尔接触过的或是未察觉出明显关系的已知知识间的联系，提高整体观念。　
注意事项：要注意积累解决问题的策略

如将立体几何问题转化为平面问题，又如将求点到平面距离的问题，或转化为求直线到平面距离的问题，再继而转化为求点到平面距离的问题；或转化为体积的问题。要不断提高分析问题、解决问题的水平：一方面从已知到未知，另方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识衔接点 ——一个固有的或确定的数学关系。要不断提高反省认知水平，积极反思自己的学习活动，从经验上升到自动化，从感性上升到理性，加深对理论的认识水平，提高解决问题的能力和创造性。