数字图像处理中的旋转不变性

闲鱼技术01

参考资料：chongbin li：Laplacian算子的旋转不变性证明
一、 函数图形的旋转不变性

数字图像处理中的函数图形的旋转不变，是指二元函数以Z轴为旋转轴旋转后，仍然是该二元函数本身。也即对于任意的 (x,y) ，有 f(x,y)=f(x^{'},y^{'}) ，其中： (x^{'},y^{'}) 是坐标 (x,y) 旋转后的坐标。



图1



图2

这里的二元函数可以是二元连续函数，也可以是二元离散函数。（之所以指明“二元函数”，是因为数字图像与二元函数相对应，因此对于数字图像领域中的旋转不变，特指二元函数而言）。
例1：
函数 f(x,y)=x^{2}+y^{2} 的函数图形具有（旋转任意角度的）旋转不变性。因为将该函数绕Z轴旋转任意角度后，依然是函数自身。
可以从数学的角度严格证明：
x^{'}=cosa*x-sina*y  
y^{'}=sina*x+cosa*y
f(x^{'},y^{'})=(cosa*x-sina*y)^{2}+(sina*x+cosa*y)^{2}=x^{2}+y^{2}=f(x,y)
所以该函数的函数图形具有任意角度的旋转不变性。
例2：
如下图所示的二维离散函数，坐标原点O位于正中央，Z轴垂直于纸面，方格中的数值是对应坐标处的函数值。该二维离散函数的函数图形具有90度的旋转不变性。因为将该函数绕Z轴旋转90度后，依然是函数自身。


由于二维离散函数与二维矩阵的关系，由二维离散函数的旋转不变性又引申出二维矩阵的旋转不变性：
一个二维矩阵，绕中心元素在纸平面内旋转90度后，依然是该矩阵自身，则该矩阵具有90度的旋转不变性。例2中的矩阵就具有旋转不变性。
二维函数的函数图形的旋转不变性，也意味着旋转前的函数在（x,y）处的函数值等于旋转后的函数在（x,y）处的函数值。
二、算子的旋转不变性

用算子对函数进行运算可以看做求函数的某一性质。
（一）拉普拉斯算子的旋转不变性，证明见：
chongbin li：Laplacian算子的旋转不变性证明
（二）梯度的模的旋转不变性，证明过程如下：
x=cos\theta x^{'}+sin\theta y^{'}      （公式2.1.1）
y=-sin\theta x^{'}+cos\theta y^{'}  （公式2.1.2）
由以上关系式可推出：
\frac{\partial x}{\partial x^{'}}=cos\theta \qquad \frac{\partial x}{\partial y^{'}}=sin\theta
\frac{\partial y}{\partial x^{'}}=-sin\theta \qquad \frac{\partial y}{\partial y^{'}}=cos\theta
f(x,y) 对 x^{'} 的偏导数可写作：
\frac{\partial f（x,y）}{\partial x^{'}}=\frac{\partial f（x,y）}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial x^{'}}+\frac{\partial f（x,y）}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial x^{'}} = \frac{\partial f（x,y）}{\partial x}cos\theta+\frac{\partial f（x,y）}{\partial y}(-sin\theta)
同理：f(x,y) 对 y^{'} 的偏导数可写作：
\frac{\partial f（x,y）}{\partial y^{'}}=\frac{\partial f（x,y）}{\partial x}sin\theta+\frac{\partial f（x,y）}{\partial y}cos\theta
因此，由上面两式可求出：
\left( \frac{\partial f（x,y）}{\partial x^{'}} \right)^{2}+\left( \frac{\partial f（x,y）}{\partial y^{'}} \right)^{2} = \left( \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} \right)^{2}+\left( \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} \right)^{2}  （公式2.2）
证毕。
为什么证明（公式2.2）就能够证明旋转不变性？只需要弄明白以下几个问题即可：
首先，要知晓函数f(x,y)逆时针旋转 \theta 角度后的函数表达式。
设函数f(x,y)逆时针旋转 \theta 角度后的函数表达式为g(x,y)，在点(x',y')处，函数g(x,y)的函数值g(x',y')应该等于f(x,y)，其中（x,y）与（x',y'）具有图1和图2之间的函数约束关系。即：
g(x^{'},y^{'})=f(x,y)=f(cos\theta x^{'}+sin\theta y^{'},-sin\theta x^{'}+cos\theta y^{'})
g(x',y')就是f(x,y)旋转\theta 角度后的函数表达式。
因此 \frac{\partial f（x,y）}{\partial x^{'}}=\frac{\partial f(cos\theta x^{'}+sin\theta y^{'},-sin\theta x^{'}+cos\theta y^{'})}{\partial x^{'}} = \frac{\partial g(x^{'},y^{'})}{\partial x^{'}}
到这里，我们导出了一个关系式： \frac{\partial f（x,y）}{\partial x^{'}} = \frac{\partial g(x^{'},y^{'})}{\partial x^{'}}
而 \frac{\partial g(x^{'},y^{'})}{\partial x^{'}} 表示g(x',y')这个函数在（x',y'）处的偏导数值，也即是旋转后的图形在（x',y'）处的偏导数值。
到此，我们 也进一步深化了对旋转不变性的认识：所谓算子的旋转不变性，就是对于函数图像上的一点（x0,y0），在函数图像绕Z轴旋转后（注意：该点在图像上，会随着函数图像的旋转而旋转，从而该点的坐标由（x0,y0）变为（x'0,y'0）），形成的新函数图像在该点（坐标为（x'0,y'0））的“性质”不会发生改变。若用 \vee 表示算子，算子的旋转不变性即 \vee f(x_{0},y_{0})=\vee g(x_{0}^{'},x_{0}^{'}) ,其中g(x,y)是f(x,y)绕Z轴旋转后的函数。
其实不通过严格证明，我们结合二元函数的图形想象一下，也会得出梯度的模这个算子是旋转不变的；而f(x,y)的偏导数却不具有旋转不变性，结合二元函数的图形想象一下，这也是显然的。

举例：二元函数f(x,y)的偏导数 \frac{\partial f}{\partial x} 是否具有旋转不变性？
在这个例子里，偏导数 \frac{\partial f}{\partial x} 是 f(x,y) 经运算之后得到的，可以当成二元函数 f(x,y) 的某个“性质”。
显然，偏导数不具有旋转不变性。举一个反例：
f(x,y)=xy+2x
在 (x,y) 处的偏导数 \frac{\partial f}{\partial x}=y+2   ，  \frac{\partial f}{\partial y}=x
旋转后的坐标为：
x^{'}=cosa*x-sina*y  
y^{'}=sina*x+cosa*y