四元数的坐标系转换

JoshWindsor

本篇文章讲解了四元数的坐标系转换，如怎么把来自右手坐标系的四元数转换成Unity3D中左手坐标系的四元数。
注：这里讨论的是Y up的情况（Unity中是Y up），即


可以看到从图左到图右，z轴是取负的
开始推导，首先要知道四元数的定义，比如给出旋转 R_{右} ：绕给定轴 u=(u_{1},u_{2},u_{3}) 旋转角度θ
这个旋转用四元数表示，写作 q=\left( cos(θ/2),sin(θ/2)u \right) ，即 q=\left( q_{1},q_{2},q_{3},q_{4}\right)  
在左手坐标系，这个旋转就被表示为 R_{左} ：绕给定轴 u^{*}=(u_{1},u_{2},-u_{3}) 旋转角度-θ
这个旋转 R_{左} 可以写作： q_左=\left( cos(-θ/2), sin(-θ/2)*u_{1},-sin(-θ/2)*u_{2},sin(-θ/2)*u_{3}\right)
即： q_左=\left( cos(θ/2), -sin(θ/2)*u_{1},sin(θ/2)*u_{2},-sin(θ/2)*u_{3}\right)
则： q_左=\left( q_{1},-q_{2},q_{3},-q_{4}\right)  
其他X up和Z up也是类似，推导一下可出结果
需要注意的是，如果右手坐标系是X up或者Z up，那么做完上述过程得到q_{左}之后，还需要做一下到Y up的转换才能得到Unity中的正确四元数结果