《UnityShader入门精要》学习笔记——第四章(上）：学习 ...

FeastSC · 发表于 2022-1-5 18:58

声明：

本文章的学习内容来源全部出自《UnityShader入门精要》——冯乐乐
该文章只是本人我的学习笔记，里面对《UnityShader入门精要》进行了些许概括且加了自己的些许理解
如果想更加具体地了解其内容，建议购买原著进行学习
<hr/>4.2笛卡尔坐标系

4.2.1二维笛卡尔坐标系

二维笛卡尔坐标系包含两部分信息：

一个特殊的位置，即原点，它是整个坐标系的中心
两条过原点的互相垂直的矢量，即x轴和y轴。这些坐标轴也被称为是该坐标系的基矢量

x，y轴不一定是图4.3中的指向，如OpenGL DirectX 使用了不同的二维笛卡儿坐标系

4.2.2三维笛卡尔坐标系

3个坐标轴称为该坐标系的基矢量
正交基：坐标系的坐标轴相互垂直
标准正交基：坐标系的坐标系相互垂直且长度为1
（如没特殊说明，接下来默认情况下使用的坐标轴值的都是标准正交基）

4.2.3 左手坐标系和右手坐标系

从某种意义上来说，所有的二维笛卡尔坐标系都是等价的（可以通过旋转和翻转实现重合）
三维笛卡尔坐标系分为：左手坐标系、右手坐标系
这2个坐标系旋向性不同

判断左右坐标系的方法一：
拿出手，大拇指指向+x，食指指向+y
左手坐标系：左手中指能指向+z
右手坐标系：右手中指能指向+z

判断左右坐标系的方法二：
拿出手，大拇指指向+z，4指指向+x
弯曲4指,哪只手的4指能逐渐弯曲至+y，则是哪手坐标系
旋转正方向的确定：哪手坐标系，就用哪之手，大拇指指向旋转轴正方向，4指弯的方向就是旋转正方向
如下图，左手坐标系的旋转正方向是顺时针；右手坐标系的旋转正方向是逆时针

在不同坐标系下移动旋转的案例：

接下来注意术语：”坐标“，”位置“
不同坐标系的同一个坐标，对应不同的位置，但是旋转相同角度，得到的坐标相同，如：
在左手坐标系中，一个点 $A_1(x_0,y_0,z_0)$ 旋转  角度后，得到 $A_2(x_1,y_1,z_1)$
同样在右手坐标系，一个点 $B_1(x_0,y_0,z_0)$ 旋转  角度后，也会得到 $B_2(x_1,y_1,z_1)$
但是这只是对各自坐标系而言的，实际上如果放在同一个坐标系下来看, $A_1$ 和 $B_1$ 不在同一个位置， $A_2$ 和 $B_2$ 可能在同一个位置

起始点(0,0,1),绕+y旋转90°

左手坐标系的点想要和右手坐标系的点位置重合，就需要将一个值取反，如:
左手坐标系 $(x_0,y_0,z_0)$ 和右手坐标系  、  、 $(-x_0,y_0,-z_0)$ 重合，（注意：这里的坐标系是可以自由旋转的，不然怎么可能既和重合，又和  重合呢）

起始点(0,0,1),绕+y旋转90°

2个坐标系转换：其实只要将坐标系的某一个轴反向，就变成了另一个坐标系

4.2.4 Unity使用的坐标系

1.模型空间、世界空间——左手坐标系

2.观察空间——右手坐标系
观察空间：以摄像机为原点，摄像机的后方为+z，镜头(可以理解为你电脑屏幕）右方是+x，上方为+y

补充：3dmax、blender世界空间都是右手坐标系，所以模型导出fbx到Unity前要进行变换

Blender的世界空间坐标系(右手坐标系）

<hr/>4.3点和矢量

点(point)只有位置的概念，无大小
矢量（verctor,向量），有大小和方向
标量（scalar），只有大小

矢量被用于表示相对于某点的偏移量
矢量的头：箭头的位置；矢量的尾：向量的起始点

不同量的表示方法：

标量的表示：用小写字母表示,如a，b，c
矢量的表示：用粗体小写字母表示，如，， $\mathbf{c}$
矩阵的表示：用粗体大写字母表示，如 , , $\mathbf{C}$

4.3.1 点和矢量的区别

任何一个点都是从原点出发的矢量

4.3.2矢量运算

1.向量和标量乘法/除法

$k\mathbf{v}=(kv_x,kv_y,kv_z)$
注意：对于乘法，向量和标量的位置可以互换；对于除法，只能向量被标量除

2.向量的加法和减法

$\mathbf{a}+\mathbf{b}=(a_x+b_x,a_y+b_y,a_z+b_z)$
注意：向量不能和标量相加减，或者说不能和不同维度的向量运算
几何意义：在图形学中常用于表述位置偏移（简称位移）

位移的理解：

可以表示相对于原点的位移； $\mathbf{b}-\mathbf{a}$ 表示点 b 相对于点 a 的位移

3.向量的模(向量的长度)

$|\mathbf{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

4.单位向量（归一化向量）

模长为1的向量，用 $\hat{\mathbf{v}}$ 表示
向量的归一化： $\mathbf{\hat{v}}=\dfrac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$ ;（是任意非零向量）
三维空间中，单位向量从一个单位球的球心出发，到达球面
在很多情况下，我们只关心向量的方向，例如，在计算光照模型时，我们需要得到的顶点的法线方向和光源方向，此时就需要进行向量的归一化

零向量

$\mathbf{v}=(0,0,0))$ ,每个分量都为0，无法进行归一化

5.向量的点积(dot)

2个向量点积的结果为标量
公式一： $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=(a_x,a_y,a_z)\cdot(b_x,b_y,b_z)=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$
性质：

交换律 $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=\mathbf{b}\cdot\mathbf{a}$
结合标量乘法 $(k\mathbf{a})\cdot\mathbf{b}=\mathbf{a}\cdot (k\mathbf{b})=k(\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})$
分配律 $\mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} +\mathbf{c})=\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}+\mathbf{a}\cdot\mathbf{c}$
向量点积自己，为自己模的平方 $\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}=v_xv_x+v_yv_y+v_zv_z=|\mathbf{v}|^2$

公式二： $\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|cos{\theta}$
其中：

$cos{\theta} = \frac{直角边}{斜边}=\mathbf{\hat{a}}\cdot\mathbf{\hat{b}} ； \theta =arcos(\mathbf{\hat{a}}\cdot\mathbf{\hat{b}})$

$|\mathbf{b}|cos{\theta}$ 可以理解为在方向上的投影(有正负)

6.向量的叉积(外积)(cross)

向量叉积的结果还是向量

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=(a_x,a_y,a_z)\times(b_x,b_y,b_z)=(a_yb_z-a_zb_y,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x)$

$|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|sin{\theta}$ （所以当和平行时， $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=0$ ）
几何性质： $|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=S_{平行四边形}$

性质：

反交换律 $\mathbf{a}\times\mathbf{b}=-(\mathbf{b}\times\mathbf{a})$
不满足结合律 $(\mathbf{a}\times\mathbf{b})\times\mathbf{c}\ne\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})$
$\mathbf{a}\times\mathbf{a}=\mathbf{0}$ , （注意是 $\overrightarrow{0}$ ,而不是标量0）

叉积后的方向判断：

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}\perp\mathbf{a},\mathbf{b}$ ,即叉积后的结果垂直于  和  构成的平面
右手坐标系：右手的4指指向  ，然后绕向  ，大拇指的方向就是  的方向
左手坐标系用左手

（不论是哪个坐标系，叉积后的数学表达结果是一样的，只是表现的视觉效果不同）

补充：叉积的矩阵表示(中间的是矩阵行列式，右边的是矩阵)

$\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\left| \begin{array}{ccc} x_a & y_{a} & z_a \\ x_b & y_b & z_b \\ i & j & k \end{array} \right|=\left( \begin{array}{ccc} 0 & -z_{a} & y_a \\ z_a & 0 & -x_a \\ -y_a & x_a & 0 \end{array} \right)$

叉积的应用：
1.通过叉积判断左右
如左图，改图为 $xy$ 平面， $z$ 的方向朝向纸外（右手坐标系）
当  的z方向为正时，则说明  在  的左侧，反之则在右侧

图片来源：Games101

2.通过叉积判断内外
如右图点  ，当 $\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AP}$ 与 $\overrightarrow{BC}\times\overrightarrow{BP}$ 与 $\overrightarrow{CA}\times\overrightarrow{CP}$ 的方向相同时，则说明  在三角形 $ABC$ 内部
（这其实是后来的光栅化基础，因为需要判断像素是否在三角形内）
<hr/> 4.4矩阵

4.4.1 矩阵的定义

行(row)，列(column)
3行x4列矩阵：

$\mathbf{M}=\left[ \begin{array}{} m_{11} & m_{12} & m_{13} & m_{14} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} & m_{24}\\ m_{31} & m_{32} & m_{33} & m_{34}\end{array} \right]$

$m_{ij}$ 表示这个元素在矩阵  的第 $i$ 行、第 $j$ 列

4.4.2 和向量联系起来

向量  可以用行矩阵(行向量)和列矩阵(列向量)表示
行矩阵(行向量) $\left[ \begin{array}{} v_{1} & v_{2} & v_{3} \end{array} \right]$
列矩阵(列向量) $\left[ \begin{array}{} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{array} \right]$
4.4.3 矩阵运算

1. 矩阵和标量的乘法

矩阵的每个元素和标量相乘

$k\mathbf{M}=\mathbf{M}k=k\left[ \begin{array}{} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array} \right]=\left[ \begin{array}{} km_{11} & km_{12} & km_{13} \\ km_{21} & km_{22} & km_{23} \\ km_{31} & km_{32} & km_{33} \end{array} \right]$

2.矩阵和矩阵的乘法

第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数，它们相乘结果得到的矩阵的行数和第一个一样，列数和第二个一样
即， $r\times n$ 的矩阵  和 $n\times c$ 的矩阵  相乘，结果 $\mathbf{AB}$ 为  的矩阵

具体表达式，设 $\mathbf{C}=\mathbf{A}\mathbf{B}$
则 $c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\dots +a_{in}b_{nj}= \sum\limits_{k=1}^{n}a_{ik}b_{kj}$
如下图 $c_{23}=a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}$

性质：

不满足交换律 $\mathbf{A}\mathbf{B}\ne \mathbf{B}\mathbf{A}$
结合律 $(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}= \mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}) \mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{E}= ((\mathbf{A}(\mathbf{B}\mathbf{C}))\mathbf{D})\mathbf{E}=(\mathbf{A}\mathbf{B})\mathbf{C}(\mathbf{D}\mathbf{E})$

4.4.4 特殊的矩阵

1.方块矩阵(square matrix)

$n\times n$ 的矩阵

对角矩阵(diagonal elements)
方块矩阵除了对角外的所有元素都为0
如: $\mathbf{M_{4\times 4}}=\left[ \begin{array}{} m_{11} & 0 & 0 & 0 \\0 & m_{22} &0 & 0\\ 0 & 0 & m_{33} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_{44}\end{array} \right]$

2.单位矩阵(indentity matrix)

对角的元素全为1的对角矩阵

$\mathbf{I_3}=\left[ \begin{array}{} 1 & 0 & 0 \\0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]$
单位矩阵和标量数字1一样

$\mathbf{M}\mathbf{I}=\mathbf{I}\mathbf{M}=\mathbf{M}$

3.转置矩阵(transposed matrix)

把原来矩阵翻转，行列对调

的矩阵转置成 $c\times r$ 的矩阵

$M_{ij}^{T}=M_{ji}$
例如：

$\left[ \begin{array}{} 6 & 2 & 10 & 3 \\7 & 5 &4 & 9\\ \end{array} \right]^T=\left[ \begin{array}{} 6 & 7 \\ 2 & 5 \\10 & 4 \\3 & 9\\ \end{array} \right]$
行矩阵的转置为列矩阵，列矩阵的转置为行矩阵

$\left[ \begin{array}{} x & y &z \end{array} \right]^T=\left[ \begin{array}{} x \\ y \\z \end{array} \right]$

$\left[ \begin{array}{} x \\ y \\z \end{array} \right]^T=\left[ \begin{array}{} x & y &z \end{array} \right]$

性质：

矩阵转置的转置等于原矩阵 $(\mathbf{M}^T)^T=\mathbf{M}$
矩阵串接(相乘)的转置，等于方向串接(相乘)各个矩阵的转置
$(\mathbf{ABC})^T=\mathbf{C}^T \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T$

4.逆矩阵(inverse matrix )

只有方阵才能有逆矩阵，不是所有方阵都有逆矩阵
给定一个方阵 , 它的逆矩阵为
最重要的性质:
方阵和它的逆矩阵相乘为单位矩阵，即 $\mathbf{M}\mathbf{M}^{-1}=\mathbf{M}^{-1}\mathbf{M}=\mathbf{I}$

如果一个矩阵有逆矩阵，则这个矩阵可逆(invertible)或者说是非奇异的(nonsingular)
如果一个矩阵无逆矩阵，则这个矩阵不可逆(noninvertible)或者说是奇异的(singular)

逆矩阵的性质:

逆矩阵的逆矩阵是原矩阵本身，即 $(\mathbf{M}^{-1})^{-1}=\mathbf{M}$
单位矩阵的逆矩阵是它本身，即 $\mathbf{I}^{-1}=\mathbf{I}$
转置矩阵的逆矩阵是逆矩阵的转置，即 $(\mathbf{M}^{T})^{-1}=(\mathbf{M}^{-1})^{T}$
矩阵串接相乘后的逆矩阵等于反向串接各个逆矩阵（前提是各个矩阵都可逆）
$(\mathbf{ABCD})^{-1}=\mathbf{D}^{-1}\mathbf{C}^{-1} \mathbf{B}^{-1} \mathbf{A}^{-1}$

逆矩阵的几何意义：逆矩阵允许我们还原这个变换，或者说计算这个变换的反向变换
我们使用变换矩阵  对向量  进行一次变换，然后再用它的逆矩阵  进行另一次变换，那就会得到原来的向量

$\mathbf{M}^{-1}(\mathbf{Mv})=(\mathbf{M}^{-1}\mathbf{M})\mathbf{v}=\mathbf{Iv}=\mathbf{v}$

通过行列式(determinant)判断矩阵可逆
如果一个矩阵的行列式不为0，则它就是可逆的
3阶矩阵行列式求法：
法一，对角线公式法：

$\left| \begin{array}{} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array} \right|$

$=m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32}-m_{13}m_{22}m_{31}-m_{12}m_{21}m_{33}-m_{11}m_{23}m_{32}$

法二：代数余子式，按任一行或列展开：

$\left| \begin{array}{} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{array} \right|=m_{13}\left| \begin{array}{} m_{21} & m_{22} \\ m_{31} & m_{32} \end{array} \right|-m_{23}\left| \begin{array}{} m_{11} & m_{12} \\ m_{31} & m_{32} \end{array} \right|+ m_{33}\left| \begin{array}{} m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{array} \right|$
前面的系数的正负号通过下表来判断，即 $(-1)^{i+j}m_{ij}$   ，所以是 $-m_{23}$

5.正交矩阵(orthogonal matrix)

如果一个矩阵的转置==该矩阵的逆矩阵，那么这个矩阵是正交的，这个矩阵叫做正交矩阵
即 $\mathbf{M}^T=\mathbf{M}^{-1}$ 或者说   $\mathbf{M}\mathbf{M}^T=\mathbf{M}^T\mathbf{M}=\mathbf{I}$

根据定义，一个3x3的正交矩阵

$\mathbf{M}\mathbf{M}^T=\left[ \begin{array}{} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} \\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{array} \right]\left[ \begin{array}{} a_{1} & b_{1} & c_{1} \\ a_{2} & b_{2} & c_{2} \\ a_{3} & b_{3} & c_{3} \end{array} \right]$

$=\left[ \begin{array}{} a_{1}^2+a_{2}^2+a_{3}^2 & a_{1}b_1+a_{2}b_2+a_{3}b_3 & a_{1}c_1+a_{2}c_2+a_{3}c_3 \\ a_{1}b_1+a_{2}b_2+a_{3}b_3 & b_{1}^2+b_{2}^2+b_{3}^2 & b_{1}c_1+b_{2}c_2+b_{3}c_3 \\ a_{1}c_1+a_{2}c_2+a_{3}c_3 & b_{1}c_1+b_{2}c_2+b_{3}c_3 & c_{1}^2+c_{2}^2+c_{3}^2 \end{array} \right]$

可以写成向量形式 $\mathbf{a、b、c}$ ,即 $\mathbf{M}=\left[ \begin{array}{} \mathbf{a}&- &- \\ \mathbf{b}&-&-\\\mathbf{c}&-&- \end{array} \right]$ ,注意这里的向量都是3维的，所以  还是3x3的矩阵；符号” $-$ “表示按行展开向量，符号”|“表示按列展开向量

$\mathbf{M}\mathbf{M}^T=\left[ \begin{array}{} \mathbf{a}&- &- \\ \mathbf{b}&-&-\\\mathbf{c}&-&- \end{array} \right]\left[ \begin{array}{} \mathbf{a} & \mathbf{b}&\mathbf{c}\\| & |&|\\ | & |&| \end{array} \right]$

$=\left[ \begin{array}{} \mathbf{a}\cdot \mathbf{a} &\mathbf{a}\cdot \mathbf{b} & \mathbf{a}\cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{b}\cdot \mathbf{a} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{b} & \mathbf{b}\cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{c}\cdot \mathbf{a} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{b} & \mathbf{c}\cdot \mathbf{c} \end{array} \right]$

所以我们得到9个等式：

$\mathbf{a}\cdot \mathbf{a}=1,\mathbf{a}\cdot \mathbf{b}=0,\mathbf{a}\cdot \mathbf{c}=0\\\mathbf{b}\cdot \mathbf{a}=0,\mathbf{b}\cdot \mathbf{b}=1,\mathbf{b}\cdot \mathbf{c}=0\\\mathbf{c}\cdot \mathbf{a}=0,\mathbf{c}\cdot \mathbf{b}=0,\mathbf{c}\cdot \mathbf{c}=1$
重点：所以一个矩阵是正交矩阵的条件：

矩阵的每一行，即都是单位向量，这样它们点积自身结果才为1
矩阵的每一行，即之间相互垂直，这样它们点积对方结果才为0
上述的结论对每一列也都适用，因为是正交矩阵的话，则 $\mathbf{M}^T$ 也是正交矩阵

笛卡尔三维坐标系的标准正交基(基矢量长度为1，相互垂直)，所组成的矩阵就是一个正交矩阵
我们常构造正交矩阵，因为正交矩阵可以通过求 转置矩阵 快速得到 逆矩阵

4.4.5 行矩阵还是列矩阵(Unity选择向量成为列矩阵)

选择行矩阵还是列矩阵，这关系到矩阵之前乘法的次序和结果
在Unity中，常把向量放在矩阵的右侧，即把向量转为列矩阵来进行计算。这意味着，矩阵的乘法通常都是右乘（从右往左乘）

$\mathbf{CBAv}=\mathbf{(C(B(Av)))}$
上面的计算等价于下面的行矩阵计算，即将矩阵转置后计算

$\mathbf{v}\mathbf{A}^T\mathbf{B}^T\mathbf{C}^T=(((\mathbf{v}\mathbf{A}^T)\mathbf{B}^T)\mathbf{C}^T)$
<hr/>另外参考资料：Games101
再次声明：

本文章的学习内容来源全部出自《UnityShader入门精要》——冯乐乐
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