计算机图形学中矩阵的应用（基础）

lxc · 发表于 2023-3-29 19:20

计算机图形学中矩阵的应用
计算机图形学是一门研究如何用计算机生成和处理图像的科学。在计算机图形学中，矩阵是一种非常重要和强大的工具，它可以用来表示和操作空间中的点、向量、坐标系、变换等概念。
什么是矩阵？
矩阵是一种由行和列组成的二维数组，每个元素都是一个数或者一个符号。例如，下面就是一个3×3的矩阵：
\begin{vmatrix} 1 & 2 &3 \\ 4 & 5 &6  \\ 7 & 8&9  \\  \end{vmatrix}
矩阵可以看作是一种线性变换，也就是说，它可以把一个向量映射到另一个向量，而且保持向量之间的线性关系不变。例如，如果有两个向量u和v，那么有：
A(u + v) = Au + Av
A(ku) = kAu
其中A是一个矩阵，k是一个常数。
为什么要用矩阵？
在计算机图形学中，我们经常需要处理空间中的点、向量、坐标系等概念。而这些概念都可以用矩阵来表示和操作。
例如，我们可以用一个三维向量来表示空间中的一个点或者方向：
\begin{vmatrix} x\\ y \\ z\\  \end{vmatrix}
我们也可以用一个4×4的齐次坐标矩阵来表示空间中的一个坐标系或者参考系：
\begin{vmatrix} x1 & x2 &x3 &x0 \\ y1 & y2 &y3 &y0 \\ z1 & z2&z3 &z0 \\w1 &w2 &w3 &w0 \end{vmatrix}
其中(x1,y1,z1,w1),(x2,y2,z2,w2),(x3,y3,z3,w3)分别表示坐标系的三个基向量（也就是坐标轴），(x0,y0,z0,w0)表示坐标系的原点位置。
我们还可以用一个4×4的变换矩阵来表示空间中对点或者向量进行的各种变换（如平移、旋转、缩放等）：
\begin{vmatrix} a & b &c &d \\ e & f &g &h \\ i & j &k &l \\ m & n &o &p \\ \end{vmatrix}
其中每个元素都代表了某种变换对某个方向或者位置的影响。
使用矩阵有什么好处？
使用矩阵有以下几个好处：
- 简洁：使用矩阵可以把复杂的几何运算简化为简单的数学运算。
- 统一：使用同样的格式和规则来处理不同类型和维度的数据。
- 高效：使用矩阵可以利用现代硬件（如GPU）进行并行计算和优化。
- 可扩展：使用齐次坐标和齐次变换可以扩展到更高维度或者更复杂情况。
如何使用矩阵？
在计算机图形学中，我们通常会遇到以下几种常见场景：
- 坐标系转换：把一个点或者向量从一个坐标系转换到另一个坐标系。
- 图形变换：对一个点或者向量进行平移、旋转、缩放等变换。
- 投影变换：把一个三维空间中的点或者向量投影到一个二维平面上。
下面我们分别介绍这些场景中如何使用矩阵。
坐标系转换
坐标系转换是指把一个点或者向量从一个坐标系（源坐标系）转换到另一个坐标系（目标坐标系）。例如，我们有两个不同的坐标系A和B，它们的齐次坐标矩阵分别为：
\begin{vmatrix} x1 & x2 &x3 &x0 \\ y1 & y2 &y3 &y0 \\ z1 & z2&z3 &z0 \\w1 &w2 &w3 &w0 \end{vmatrix}  \begin{vmatrix} u1 & u2 &u3 &u0 \\ v1 & v2 &v3 &v0 \\ w1 & w2&w3 &w0 \\s1 &s2 &s3 &s0 \end{vmatrix}
其中(x1,y1,z1,w1),(x2,y2,z2,w2),(x3,y3,z3,w3)分别表示A坐标系的三个基向量，(x0,y0,z0,w0)表示A坐标系的原点位置；(u1,v1,w1,s1),(u2,v2,w2,s2),(u3,v3,w3,s3)分别表示B坐标系的三个基向量，(u0,v0,w0,s0)表示B坐标系的原点位置。
现在我们有一个点P，在A坐标系中用齐次向量(p,q,r,t)表示，在B坐标系中用齐次向量(a,b,c,d)表示。我们想要求出从A到B的转换矩阵T，使得：
T(p,q,r,t) = (a,b,c,d)
为了求出T，我们可以利用矩阵乘法的性质：
T(p,q,r,t) = T(xp + yq + zr + wt)
= Txp + Tyq + Tzr + Twt
= (xTp + yTq + zTr + wTt)
= (a,b,c,d)
其中x,y,z,w是常数。由于这个等式对任意的p,q,r,t都成立，所以我们可以令p,q,r,t分别等于(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)，那么我们就可以得到：
T(1,0,0,0) = (a,b,c,d)
T(0,1,0,0) = (e,f,g,h)
T(0,0,1,0) = (i,j,k,l)
T(0,0,0,1) = (m,n,o,p)
这样我们就可以把T的每一列都求出来，然后组合成一个4×4的矩阵：
\begin{vmatrix} a & e &i &m\\ b & f &j&n\\ c & g&k &o \\d &h&l &p \end{vmatrix}
这就是从A到B的转换矩阵T。如果我们想要从B到A的转换矩阵，只需要求出T的逆矩阵即可。
图形变换
图形变换是指对一个点或者向量进行平移、旋转、缩放等变换。这些变换都可以用一个4×4的变换矩阵来表示和执行。
平移变换
平移变换是指沿着某个方向移动某个距离。例如，我们想要把一个点P沿着x轴正方向移动5个单位，那么我们可以用下面的平移矩阵来实现：
\begin{vmatrix}1 & 0 &0 &5\\ 0& 1&0&0\\ 0& 0&1&0\\0&0 &0 &1\end{vmatrix}
这个矩阵的意义是，把原来的x坐标加上5，而其他坐标不变。如果我们想要沿着其他方向或者移动其他距离，只需要修改对应的元素即可。
旋转变换
旋转变换是指绕着某个轴或者某个点旋转某个角度。例如，我们想要把一个点P绕着z轴逆时针旋转30度，那么我们可以用下面的旋转矩阵来实现：
\begin{vmatrix} cos(30) & -sin(30) &0 &0 \\sin(30) & cos(30) &0 &0\\ 0& 0&1&0\\0&0&0&1\end{vmatrix}
这个矩阵的意义是，把原来的x和y坐标分别乘以cos(30)和sin(30)，然后相加或者相减，而其他坐标不变。如果我们想要绕着其他轴或者旋转其他角度，只需要修改对应的元素即可。
缩放变换
缩放变换是指沿着某个方向或者各个方向改变大小。例如，我们想要把一个点P沿着x轴放大2倍，那么我们可以用下面的缩放矩阵来实现： \begin{vmatrix} 2 & 0 &0 &0 \\ 0 & 1 &0 &0 \\ 0& 0 &1 &0 \\ 0 & 0 &0 &1 \\ \end{vmatrix}
这个矩阵的意义是，把原来的x坐标乘以2，而其他坐标不变。如果我们想要沿着其他方向或者放大或者缩小其他倍数，只需要修改对应的元素即可。
投影变换
投影变换是指把一个三维空间中的点或者向量投影到一个二维平面上。这种变换可以用来模拟人眼或者相机对于三维场景的观察。例如，我们想要把一个点P投影到一个平面上，那么我们可以用下面的投影矩阵来实现： \begin{vmatrix} a & b &c &d \\ e & f &g &h \\ i & j &k &l \\ m & n &o &p \\ \end{vmatrix}
这个矩阵的意义是，把原来的齐次坐标(p,q,r,t)乘以这个矩阵，然后除以最后一个元素，得到新的齐次坐标(a,b,c,d)。其中a和b就是投影后的二维坐标，而c和d可以用来表示深度信息。如果我们想要投影到不同的平面或者使用不同的视角或者视距，只需要修改对应的元素即可。
总结
以上就是计算机图形学中矩阵的应用的简单介绍。通过使用矩阵，我们可以方便地表示和操作空间中的点、向量、坐标系、变换等概念。

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