2022数学建模国赛A题求解：变循环发动机部件法建模及优化问题
本文研究的是变循环发动机部件法建模及优化问题。对于第一问，首先要求分析风扇特性，通过部件法建模，风扇属于压气机模型，根据压气机压比函数的定义，利用matlab 线性插值将附录4 中增压比转换成压比值，作出在不同转换速度下的流量随压比函数值的曲线图，如图2 所示。为计算风扇和CDFS 出口的总温、总压和流量，根据附录1 的计算公式，构建进气道模型和风扇、CDFS 的压气机模型。根据已知数据，在亚音速状态下代入构建的进气道、风扇和CDFS 计算模型即可得到所求变量值：风扇出口总压为1.2883、总温为378.3326、流量分别为19.0477；CDFS 的出口总温为419.3767，总压为1.7745，出口流量为16.9401。其余中间变量见表1 至表3 所示。
第二问，要求解7 个平衡方程组成的非线性方程。首先，分析发动机的整机模型，根据部件法构建发动机的各部分计算模型。在发动机各部件匹配工作时，受7 个平衡方程制约。根据已知的参数和发动机模型，设定七个适当的未知数，分别为：高压转速H n 、风扇、CDFS、高压涡轮、低压涡轮的压比函数值：CL Z 、CDFS Z 、CH Z 、TH Z 、TL Z 以及主燃烧室的出口温度*4 T 。由构建的发动机模型与其工作时各部件匹配的7 个平衡方程可得到一组非线性方程组。为求解此方程组,采用粒子群算法。将非线性方程组的潜在解视为粒子，设定的未知量可看作粒子的位置，粒子群中的粒子个体根据适应性函数引导进行迭代，向非线性方程组的最优解不断逼近 ，通过迭代法，更新粒子的位置，以搜索到全局极值，即获取非线性方程组的最优解。经过多次试验，粒子群算法均能搜寻到能得到比较准确的非线性方程的解。在给定不同的群体数和初值时，可得到以下比较理想的解：
对于第三问，求解发动机性能最优时，发动机CDFS导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3个量的取值。本题的求解为单涵道模式下最优解的查找问题，可按照与问题二类似的步骤，首先根据发动机的整体模型和部件法构建发动机的各个部分计算模型；在单涵道工作模式下，在发动机各部件匹配工作时，受8个平衡方程制约。设定相应的未知量，建立关于发动机CDFS导叶角度CD 、低压涡轮导叶角度l以及喷管喉道面积A 这三个位置参量的非线性方程组，求出其他未知量与CD ， l ， A 的关系。进而表示出发动机性能参数推力F，耗油率sfc，单位推力Fs的函数关系，另外根据性能最优要求，建立性能评价函数，得到关于CD， l ， A 的三元函数，通过粒子群算法，求解函数的极值，便是性能最优时的参数设定。但鉴于时间有限，本文中只建立模型，分析了求解算法，后续的求解过程和结果仍在研究过程中。
一、问题重述
1.1 问题背景
由飞机/发动机设计原理可知，对于持续高马赫数飞行任务，需要高单位推力的涡喷循环，反之，如果任务强调低马赫数和长航程，就需要低耗油率的涡扇循环。双涵道变循环发动机可以同时具备高速时的大推力与低速时的低油耗。变循环发动机的内在性能优势，受到了各航空s 强国的重视，是目前航空发动机的重要研究方向。双涵道变循环发动机的基本构造如图1 所示：
1.2 问题的提出
根据变循环发动机的构造及基本原理，建立数学模型完成以下任务：
1. 1）根据附录4 中风扇特性数据表中流量随压比函数值变化的图形；
2）设在发动机飞行高度H 11km，飞行马赫数Ma0.8的亚音速巡航点，导叶角度均设置为0°，风扇和CDFS 的物理转速都为0.95，风扇和CDFS 的压比函数值都为0.5,求风扇和CDFS 的出口总温、总压和流量。
2. 设在发动机飞行高度H 11km，飞行马赫数Ma 0.8的亚音速巡航点，采用双涵道模式，导叶角度均设置为0°，选择活门完全打开，副外涵道面积设为1.8935e+003，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，尾喷管喉道面积A8= 9.5544e+003， Nl=0.85。请运用或设计适当的算法求解由发动机7 个平衡方程组成的非线性方程组。要求陈述算法的关键步骤及其解释，尽可能讨论算法的有效性。
3. 1）设在发动机飞行高度H 11km，飞行马赫数Ma 1.5的超音速巡航点，发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0°，后混合器面积设置为2.8518e+004。请问发动机CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积3 个量为多少时，发动机的性能最优?
2）试研究发动机飞行高度 H 11km，飞行马赫数从Ma 1.1变化到Ma 1.6,发动机特性最优时，CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度,尾喷管喉道面积随飞行马赫数的变化规律。此时发动机采用单涵道模式，将选择活门面积设置为0，风扇导叶角度、高压压气机导叶角度、高压涡轮导叶角度均设置为0°，后混合器出口总面积设置为2.8518e+004，后混合器内、外涵道面积可调。
二、模型的基本假设
2.1 系统处于稳定状态，不考虑单/双涵道模式转换时的动态过程；
2.2 变循环发动机是十分复杂的气动热力学系统，为简化模型，对部分部件进
行适当的简化；
2.3 忽略燃油在燃烧室中燃烧延迟的影响；
2.4 气流在各部件的流动都按准一维流动处理，即各个截面气流参数作平均处
理；
2.5 外界环境气压为标准大气压；
四、问题分析
本文研究的是变循环发动机部件法的建模及优化问题，根据 各部件的已知特性，模拟整个发动机的性能。
问题一 首先 要求分析风扇特性。 在变循环发动机的工作过程中，风扇相当于低压压气机。 根据附录 3 中 压气机 压比函数的定义式 利用 matlab 对附录 4中原有数据进行处理， 将增压比转换成压比值， 作出 在不同转换速度下的流量随压比函数值的曲线图。 为计算风扇和 CDFS 出口的总温、总压和流量， 采用部件法， 根据附录 1 中给出的发动机部件计算公式， 构建进气道和压气机模型。由于风扇和 CDFS 均相当于压气机，在建模时可直接采用压气机模型。 根据已知数据， 在亚音速状态下 代入构建的三个部件的计算模型即可得到所求变量值。
问题二要求解 7 个平衡方程组成的非线性方程。首先，分析发动机的整机模型，根据部件法构建 发动机的各部分计算模型。在发动机各部件匹配工作时，受 7 个平衡方程制约。设定适当的未知参数，由构建的发动机模型可将平衡方程等价于关于未知参数的非线性方程组。为求解此方程组 采用粒子群算法， 将非线性方程组的潜在解视 为粒子，设定的未知量可看作粒子的位置， 粒子群中的粒子个体根据适应性函数引导进行迭代，向非线性方程组的最优解不断逼近 ，通过迭代法，更新粒子的位置，以搜索到全局极值，即获取非线性方程组的最优解。
问题三要求解发动机性能最优时，发动机 CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积 3 个量的取值。这个问题涉及到最优解的问题，根据题目意思，可知，最优解时，发动机有较强的动力性和燃油经济性。并且，发动机的新能参数推力 F ，耗油率 sfc ，单位推力 Fs 可以用 发动机 CDFS 导叶角度、低压涡轮导叶角度和喷管喉道面积这三个变量 表示，问题转化成关于这三个变量的发动机性能参数的最优解问题。所以首先需要做的是将性能参数用这三个变量表示出，同问题二一样的做法，要根据发动机的整体模型和部件法构建发动机的个个部分计算模型，注意此时是超音速飞行，飞机需要有较强的动力，所以此时飞机发动机工作在单涵道模式，部件法建模计算时，同样受到平衡方程制约，在单涵道模式下，没有混合器流量制约，但是单涵道模式中，可以认为，所有气体流量全部走内涵道，那么有前后级部件流量是相等的。设定相应的未知量以及中间变量，构建未知参数的非线性方程组，最终可以消除所有中间变量， 将发动机性能参数用题目中的三个变量表示，然后再求解函数的最优解。对于函数最优解问题，仍然可以用粒子群算法。
五、模型的建立与问题求解
5.1问题 1 的求解
5.1.1风扇特性分析
在变循环发动机工作中， 气体进入进气道后，经过风扇，气压升高。风扇的工作原理相当于低压压气机 。 根据附录 3 可知， 压气机的压比的物理含义为：在某一 换算转速 下， 压气机增压比的标准变化量。由此定义该 换算转速 下，风扇的增压比与压比函数关系式：
根据式(1)，利用excel 直接计算出附录4 风扇特性数据表中各个换算转速下每个增压比对应的压比值。再将所得的压比值及对应的流量数据导入matlab，拟合出不同换算转速下流量随压比函数值的曲线，如图2 所示：
5.1.2 风扇与CDFS 的出口总温、总压及流量计算
气体进入进气道后，流经风扇，由风扇对气流进行初步增压；部分气流再经由CDFS 对其进一步做功，使得气流的压力和温度进一步升高。采用部件法，根据附录1 中给出的发动机各部件计算公式，构建进气道及压气机模型，而风扇和CDFS 均相当于压气机。根据飞行高度，飞行马赫数，导叶角和CDFS 的物理转速，风扇和CDFS 的压比函数值等已知数据，按照构建的模型分成进气道、风扇和CDFS 三步进行计算，即可得到风扇和CDFS 出口的总温、总压和流量。
5.1.2.1 进气道模型
进气道的作用是提供与发动机相匹配的空气流量。根据附录1 进气道的计算模型，在已知H 11km时，可得到气道出口的总温、总压。
1）根据已知的高度H，可计算标准大气条件下环境压力 p0（静压），环境温度T0 （静温）：
2）计算进气道的总温总压：
3）计算进气道总压恢复系数：
4）计算进气道出口总温总压：
5.1.2.2 压气机模型
气体进入进气道之后，流经风扇，风扇的作用是通过对气流做功，对气流进行初步增压。经过风扇加压的一部分气体进入核心驱动风扇级（CDFS），CDFS的作用是对进一步对气体做功，使气体压力和温度进一步升高。由此风扇、CDFS 以及高压压气机均相当于压气机，采用以下相同的压气机计算模型。每部分压气机模型，只需已知高度、飞行马赫数、导叶角、入口总温、总压、压比值、物理转速以及附录4 中所给的特性数据，即可根据以下构建的压气机计算模型得到对应的出口总温、总压、流量及效率等所求量。
1）计算压气机换算转速：
2）线性插值法计算压气机增压比、效率和换算流量
根据1）中所得到的换算速度，以及附录4 给出的风扇特性和CDFS 特性，使用线性插值法，利用matlab 先根据换算速度，对增压比、流量和效率进行线性插值；再根据一次插值后所得的增压比计算各压比函数值；最后根据给出的压比函数值，对增压比、换算流量及效率进行第二次线性插值，可得到对应的增压比 pr c,map 、效率 和换算流量W c,map 。
3）修正增压比、效率和换算流量
将2）中线性插值法得到的压气机的增压比、效率和换算流量进行如下修正：
4）计算压气机出口总压
根据入口总压与增压比由式(8)可得压气机的出口总压：
5) 计算压气机出口总温
空气的熵函数与焓函数h(T)如下：
压气机出口理想熵计算式及效率与焓的关系式：
出口总温的计算过程为：首先根据进口总温计算进口熵，再得出压气机的出口理想熵。将获取的出口理想熵回代入熵函数，可计算得出口理想总温。根据出口理想总温计算出后理想焓；由3）中的效率可得到压气机出口焓；最后，将出口焓回代至焓函数，即可得到压气机的出口总温。
6）计算压气机流量
压气机出口流量可由式（12）计算所得：
7）压气机功和功率
5.1.2.3 计算结果
首先，根据题中所给参数，通过进气道模型可计算得进气道的出后总温总压。在假设理想的情况下，进气道出口的总温即为风扇进口总温；进气道出口总压即为风扇进口总压，即满足：
通过进气道模型计算得到的风扇入口总温总压以及题中所给的其他参数，由构建的压气机计算模型可得到，风扇的总温、总压、流量以计算过程中的各个中间变量的计算结果。同样地，在假设理想的情况下，风扇出口的总温即为CDFS 进口总温；风扇出口总压即为CDFS 进口总压，即满足：
类似，根据部件法构建的压气机计算模型可得到， CDFS 的出口总温、总压、流量及计算过程中各中间变量的计算结果。下表1 至表3 中列出了进气道模型及风扇和CDFS 模型的中间变量计算值。表4 中列出了风扇与CDFS 的出口总温、总压以及流量的计算值。
表1 进气道中间变量计算结果
表2 风扇的压气机计算模型中间变量
表3 CDFS 的压气机计算模型中间变量
最终风扇与CDFS 总温、总压、流量的计算结果如表4 所示：
六、模型评价与改进
6.1模型的优 缺 点
6.1.1部件法
本文采用部件法构建双涵道变循环发动机的模型 。部件法的主要优势在于将发动机的整个模型分成各个模块，各模块根据上级参数可独立分析，简化了模型分析过程。
6.1.2粒子群算法
1 同传统的优化方法相比 , PSO 具有更强的 全局优化能力 也能较快地收敛于可接受解
2 PSO 采用实数编码，不需要像遗传算法一样采用二进制编码 或者采用针对实数的遗传操作 。 凡能用遗传算法求解的问题均能用粒子群算法 不需要诸如选择、交叉、变异和保留等遗传操作 因此控制参数少 算法简单效率较高
3 PSO 也是基于群体的非数值并行算法 整个过程毋须导数信息
4 对于多解的非线性方程组 可以通过独立计算多次来得到多个完全数值解
6.2模型的缺点
1 基本粒子群算法的性能依赖算法的参数选择
2 由于 PSO 中粒子向自身历史最佳位 置和邻域或群体历史最佳位置聚集，形成粒子种群的快速趋同效应，容易出现陷入局部极值、早熟收敛或停滞现象
3 基本粒子群算法容易陷入局部最优 计算量较大，求解时间比较长，如果参数设置不但，求解速度比较慢。
6.3改进方向
考虑到基本粒子群算法存在局限性，结合粒子群算法（PSO ）和遗传算法 GA的优点，采用一种新的算法：遗传粒子群算法 ( 。该算法首先计算适应度函数值，对群体中的 体按适应度函数值的大小进行排序，再采用 PSO 算法对群体中的优秀个体进行提高，提高以后的个体被保留并进入下一代，其他适应 度函数值差的个体则被淘汰。对已经提高的优秀个体再通过选择交叉和变异步骤得到剩下的个体。采用新方法得到的下一代个体比采用遗传和粒子群方法得到的下一代个体要优秀，因此 GAPSO 算法的性能有很大的提高.
参考文献
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