第十九弹——23种标准测试函数解析~图像&公式&代码
引言在我们做智能优化算法的相关内容时，常常会用标准测试函数去评判算法的优化性能。不过大多情况下作者在文中并不会给出每一个标准测试函数的名称，而是直接以公式替代，这其实隐隐约约地造成了些许不便。比方说，某位读者和好朋友同时去改进一个算法，跑出数据以后大家相互交流，想比一比谁搞得效果更好，结果两人连函数名称都不熟悉，这就使得双方难以将话题进行下去，失去装逼的机会。
一般在网上能够搜到一些标准测试函数的相关内容，不过我感觉大多十分零散，并不全面。于是我决定搜集多方资源以单独做一期有关23种标准测试函数的小文章，希望能够帮到大家~(PS:最近wlop大大作品质量越来越高了！！！必须分享一下~)
图1 单峰测试函数
图2 多峰测试函数
图3 固定维多峰测试函数
单峰测试函数部分
F1：Sphere Function
球函数除了全局极小值外，还有d(维度)个局部极小值。呈连续、下凹、单峰。
function o = F1(x)
o=sum(x.^2);
endF2：Schwefel's Problem 2.22
function o = F2(x)
o=sum(abs(x))+prod(abs(x));
endF3：Schwefel's Problem 1.2
function o = F3(x)
dim=size(x,2);
o=0;
for i=1:dim
o=o+sum(x(1:i))^2;
end
endF4：Schwefel's Problem 2.21
function o = F4(x)
o=max(abs(x));
endF5：Generalized Rosenbrock's Function
Rosenbrock函数，也称为Valley或Banana函数，是基于梯度的优化算法的常见测试问题。其全局最小值位于一个狭窄的抛物线谷中，然而，尽管该山谷很容易找到，但很难收敛到最小值。
function o = F5(x)
dim=size(x,2);
o=sum(100*(x(2:dim)-(x(1:dim-1).^2)).^2+(x(1:dim-1)-1).^2);
endF6：Step Function
function o = F6(x)
o=sum(abs((x+.5)).^2);
endF7：Quartic Functioni.e. Noise
存在随机干扰的多维单峰平底函数
function o = F7(x)
dim=size(x,2);
o=sum(.*(x.^4))+rand;
end多峰测试函数部分
F8：Generalized Schwefel's Problem 2.26
function o = F8(x)
o=sum(-x.*sin(sqrt(abs(x))));
endF9：Generalized Rastrigin's Function
Rastrigin函数有许多局部极小值。它是高度多模态的，但极小值的位置是规则分布的。
function o = F9(x)
dim=size(x,2);
o=sum(x.^2-10*cos(2*pi.*x))+10*dim;
endF10：Ackley's Function
在二维形式中，它的特点是外部区域十分平坦，中心有一个大洞。该函数给优化算法，尤其是爬山算法带来了被困在其众多局部最小值之一中的风险。
function o = F10(x)
dim=size(x,2);
o=-20*exp(-.2*sqrt(sum(x.^2)/dim))-exp(sum(cos(2*pi.*x))/dim)+20+exp(1);
endF11：Generalized Griewank's Function
Griewank函数具有许多的局部极小值，这些极小值是规则分布的。
function o = F11(x)
dim=size(x,2);
o=sum(x.^2)/4000-prod(cos(x./sqrt()))+1;
endF12：Generalized Penalized Function（分为两种，此为第一种）
function o = F12(x)
dim=size(x,2);
o=(pi/dim)*(10*((sin(pi*(1+(x(1)+1)/4)))^2)+sum((((x(1:dim-1)+1)./4).^2).*...
(1+10.*((sin(pi.*(1+(x(2:dim)+1)./4)))).^2))+((x(dim)+1)/4)^2)+sum(Ufun(x,10,100,4));
endF13：Generalized Penalized Function（分为两种，此为第二种）
function o = F13(x)
dim=size(x,2);
o=.1*((sin(3*pi*x(1)))^2+sum((x(1:dim-1)-1).^2.*(1+(sin(3.*pi.*x(2:dim))).^2))+...
((x(dim)-1)^2)*(1+(sin(2*pi*x(dim)))^2))+sum(Ufun(x,5,100,4));
end固定维多峰测试函数
F14：Shekel's Foxholes Function
function o = F14(x)
aS=[-32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32 -32 -16 0 16 32;,...
-32 -32 -32 -32 -32 -16 -16 -16 -16 -16 0 0 0 0 0 16 16 16 16 16 32 32 32 32 32];
for j=1:25
bS(j)=sum((x'-aS(:,j)).^6);
end
o=(1/500+sum(1./(+bS))).^(-1);
endF15：Kowalik's Function
function o = F15(x)
aK=[.1957 .1947 .1735 .16 .0844 .0627 .0456 .0342 .0323 .0235 .0246];
bK=[.25 .5 1 2 4 6 8 10 12 14 16];bK=1./bK;
o=sum((aK-((x(1).*(bK.^2+x(2).*bK))./(bK.^2+x(3).*bK+x(4)))).^2);
endF16：Six-Hump Camel-Back Function
function o = F16(x)
o=4*(x(1)^2)-2.1*(x(1)^4)+(x(1)^6)/3+x(1)*x(2)-4*(x(2)^2)+4*(x(2)^4);
endF17：Branin Function
function o = F17(x)
o=(x(2)-(x(1)^2)*5.1/(4*(pi^2))+5/pi*x(1)-6)^2+10*(1-1/(8*pi))*cos(x(1))+10;
endF18：Goldstein-Price Function
此函数的重缩放形式的平均值为零，方差为1。作者还向输出中添加了一个小的高斯误差项。
function o = F18(x)
o=(1+(x(1)+x(2)+1)^2*(19-14*x(1)+3*(x(1)^2)-14*x(2)+6*x(1)*x(2)+3*x(2)^2))*...
(30+(2*x(1)-3*x(2))^2*(18-32*x(1)+12*(x(1)^2)+48*x(2)-36*x(1)*x(2)+27*(x(2)^2)));
endF19&F20：Hartman's Family
function o = F19(x)
aH=;cH=;
pH=[.3689 .117 .2673;.4699 .4387 .747;.1091 .8732 .5547;.03815 .5743 .8828];
o=0;
for i=1:4
o=o-cH(i)*exp(-(sum(aH(i,:).*((x-pH(i,:)).^2))));
end
end
function o = F20(x)
aH=;
cH=;
pH=[.1312 .1696 .5569 .0124 .8283 .5886;.2329 .4135 .8307 .3736 .1004 .9991;...
.2348 .1415 .3522 .2883 .3047 .6650;.4047 .8828 .8732 .5743 .1091 .0381];
o=0;
for i=1:4
o=o-cH(i)*exp(-(sum(aH(i,:).*((x-pH(i,:)).^2))));
end
endF21&F22&F23：Shekel's Family
function o = F21(x)
aSH=;
cSH=[.1 .2 .2 .4 .4 .6 .3 .7 .5 .5];
o=0;
for i=1:5
o=o-((x-aSH(i,:))*(x-aSH(i,:))'+cSH(i))^(-1);
end
end
function o = F22(x)
aSH=;
cSH=[.1 .2 .2 .4 .4 .6 .3 .7 .5 .5];
o=0;
for i=1:7
o=o-((x-aSH(i,:))*(x-aSH(i,:))'+cSH(i))^(-1);
end
end
function o = F23(x)
aSH=;
cSH=[.1 .2 .2 .4 .4 .6 .3 .7 .5 .5];
o=0;
for i=1:10
o=o-((x-aSH(i,:))*(x-aSH(i,:))'+cSH(i))^(-1);
end
end总结
本期主要介绍23种最常用的标准测试函数，当然，还有其他不怎么常见的测试函数，在下一期我会对这些函数做相应介绍。
主要参考：
Xin Yao; Yong Liu; Guangming Lin (1999).Evolutionary programming made faster. , 3(2), 0–102.doi:10.1109/4235.771163 我想知道这个标准是谁制定的 ，这23个测试函数是GWO作者用到的，请问是y他制定的吗 最早是在"Evolutionary Programming Made Faster"这篇文章中提出来的 赞 另外能否分享一下MFO在cec2017下的测试代码 学长您好，有个问题想请教一下，关于函数6中的求和应该是向下取整的意思，但是在代码实现中为什么使用的却是abs绝对值函数呢？我查找了一下有关使用该函数的论文也是用的abs有点不能理解[好奇] 这个我倒是没仔细探究过，你可以找到提出这些函数的那篇文章看一下 想请教一下几个问题[赞同]1.colormap是什么？求分享！ 2.这个图像是怎么画出来的？我用了ezsurf和fsurf，但是这两个函数默认接受的函数句柄要求是f(x,y)的格式，而不是f(X)的向量格式，因此就不能用文章里的代码了。 3.图像下面的等高线是如何做出来的呢？ 谢谢啦[调皮][爱] 1.就是颜色图，用法可百度2.生成每次迭代的(x，y)坐标，打点3.用surfc函数 我想问colormap的参数是啥[捂脸]文章里的很好看。 这还真每深入研究过，你可以看看源代码里的