向量运算与应用
什么是向量向量指具有大小和方向的量，一般记做： a ，，，同时也可以用数对的形式表示，例如：(x, y) ，(7,8,9)
向量的矩阵表示：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x+%5C%5Cy%5Cend%7Bbmatrix%7D
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%3D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x%5C%5C+y%5C%5C+z+%5Cend%7Bbmatrix%7D
向量的大小，也就是向量的长度（一般称作为 模），向量a的模记为： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft+%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Cright+%7C ，若 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%5Cleft+%28+x%2Cy%2Cz+%5Cright+%29 ，则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft+%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Cright+%7C+%3D+%5Csqrt%7Bx%5E2+%2B+y%5E2%2B+z%5E2%7D
单位向量：即模为1的向量，可以记作 。一个向量的单位向量，可以通过除以它模得到，即 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Ba%7D+%3D+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Ba%7D%7D%7B%7C+%5Cvec%7Ba%7D%7C%7D。
零向量：即模为0的向量，零向量的方向是任意的
相反向量：长度相等方向相反的向量，的相反向量为 https://www.zhihu.com/equation?tex=-%5Cvec%7Ba%7D
平行（共线）向量：方向相同或相反的非零向量，记作 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%2F%2F+%5Cvec%7Bb%7D
向量运算
设 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%3D%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29 ， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D%3D%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29
加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BOA%7D+%2B+%5Cvec%7BOB%7D+%3D+%5Cvec%7BOC%7D
可以将其想象成一个长方形求对角线。
运算过程：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2B%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%3D%28x_1%2Bx_2%2Cy_1%2By_2%2Cz_1%2Bz_2%29
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D%5C%5C+y_%7B1%7D+%5C%5Cz_1%5Cend%7Bbmatrix%7D+%2B+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B2%7D%5C%5C+y_%7B2%7D+%5C%5Cz_2%5Cend%7Bbmatrix%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D+%2B+x_%7B2%7D%5C%5C+y_%7B1%7D+%2B+y_%7B2%7D+%5C%5Cz_1%2Bz_2%5Cend%7Bbmatrix%7D
一些运算律：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%2B+0+%3D+0+%2B+%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%5Cvec%7Ba%7D
交换律： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Ba%7D
p data-pid="6PQXNsG7">结合律： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cleft+%28+%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%5Cright%29+%2B+%5Cvec%7Bc%7D+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cleft+%28+%5Cvec%7Bb%7D+%2B+%5Cvec%7Bc%7D+%5Cright%29 </p>减法
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BOA%7D+-+%5Cvec%7BOB%7D+%3D+%5Cvec%7BBA%7D ，如图
运算过程：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+-+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%28x_1%2Cy_1%2Cz_1%29%2B%28x_2%2Cy_2%2Cz_2%29%3D%28x_1-x_2%2Cy_1-y_2%2Cz_1-z_2%29
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+-+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D%5C%5C+y_%7B1%7D+%5C%5Cz_1%5Cend%7Bbmatrix%7D+-+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B2%7D%5C%5C+y_%7B2%7D%5C%5Cz_2+%5Cend%7Bbmatrix%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_%7B1%7D+-+x_%7B2%7D%5C%5C+y_%7B1%7D+-+y_%7B2%7D+%5C%5Cz_1-z_2%5Cend%7Bbmatrix%7D
一些运算律：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2B%28-%5Cvec%7Bb%7D%29%3D%5Cvec%7Ba%7D-%5Cvec%7Bb%7D
实数和向量的积
设有实数 k，和向量的乘积还是一个向量，记做 https://www.zhihu.com/equation?tex=k%5Cvec%7Ba%7D ，且 https://www.zhihu.com/equation?tex=+%7C+k+%5Cvec%7Ba%7D+%7C+%3D++%7C+k%7C+%2A+%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%7C ，如果 https://www.zhihu.com/equation?tex=k%5Cvec%7Ba%7D%3D0 ，则 k = 0 或 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%3D0
其几何意义为：向量的有向线段的伸长或者压缩。
一些运算律：
结合律： https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+k%5Cvec%7Ba%7D+%29%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+k%28%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%29+%3D+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ccdot+%28+k%5Cvec%7Bb%7D+%29
分配律： https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+j%2B+k%29+%5Cvec%7Ba%7D+%3D+j%5Cvec%7Ba%7D+%2B+k%5Cvec%7Ba%7D
https://www.zhihu.com/equation?tex=k%28+%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%29+%3Dk%5Cvec%7Ba%7D+%2Bk%5Cvec%7Bb%7D
向量的点乘（点积，内积，数量积）（Dot Product）
两个向量的数量积（点积，内积，点乘）是一个数量，没有方向，记作 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D
代数定义： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+x_%7B1%7Dx_%7B2%7D%2By_%7B1%7Dy_%7B2%7D%2Bz_1z_2
几何定义：我们将和的夹角记作，且
若，不共线，则
若，共线，则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cpm+%5Cleft+%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Cright+%7C+%5Ccdot+%5Cleft+%7C+%5Cvec%7Bb%7D+%5Cright+%7C ，因为此时 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%3D0 则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta%3D1，若两个向量方向相反，则认为https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%3D%5Cpi 则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta%3D-1。
一些运算律：
交换律： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%3D%5Cvec%7Bb%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Ba%7D
结合律： https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+k%5Cvec%7Ba%7D+%29%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+k%28+%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%29
分配率： https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%29%5Ccdot+%5Cvec%7Bc%7D+%3D%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bc%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bc%7D
一些性质：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%7C+%5E%7B2%7D
若两个向量互相垂直，则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta%3D0因此 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Cperp+%5Cvec%7Bb%7D+%5Cleftrightharpoons+%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+0
点乘的实际使用场景
1.计算两个向量的夹角，通过点乘我们可以得到：
https://www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Ctheta+%3D+%5Cfrac%7B%5Cvec%7Ba%7D%5Ccdot+%5Cvec%7Bb%7D%7D%7B%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%7C+%5Ccdot+%7C+%5Cvec%7Bb%7D+%7C%7D+%3D+%5Cfrac%7Bx_1x_2%2By_1y_2%2Bz_1z_2%7D%7B%5Csqrt%7Bx_1%5E2%2By_1%5E2%2Bz_1%5E2%7D%2A%5Csqrt%7Bx_2%5E2%2By_2%5E2%2Bz_2%5E2%7D%7D
若和为单位向量，即模为1，那么上面的式子分母即为1，得
https://www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Ctheta+%3D+x_1x_2%2By_1y_2%2Bz_1z_2
2.可以用来求一个向量在另一个向量上的投影，例如图中在上的投影，我们记作
因为是 在上的投影，因此 的方向和相同。因此 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D+_%7B%5Cperp+%7D+%3D+k+%5Chat%7Ba%7D ，k为一个常量， 为的单位向量。
的值我们很好求得： https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Ba%7D%3D%5Cfrac%7B%5Cvec%7Ba%7D%7D%7B%7C%5Cvec%7Ba%7D%7C%7D
接下来要看看 k 值的含义，因为和方向相同， 因此不仅是的单位向量，同时也是的单位向量，因此 k 即为的模，即 https://www.zhihu.com/equation?tex=k%3D%7C%5Cvec%7Bb%7D+_%7B%5Cperp+%7D%7C
然后由于的结尾与的结尾的连线，垂直于（如图，也是投影的性质），因此通过三角函数，我们可以得知 https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Bb%7D+_%7B%5Cperp+%7D%7C%3D%7C%5Cvec%7Bb%7D+%7C%2A%5Ccos%5Ctheta
https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Bb%7D%7C 的值很好求得， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta 我们可以通过点乘得到，因此即可求得k的值，然后求得
如图，通过向量的减法，我们可以得到 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D-%5Cvec%7Bb%7D+_%7B%5Cperp+%7D ，这样就把分解成了两个互相垂直的向量。
若我们要把向量 (x, y, z) 投影到x，y，z的某个平面上，只需要把垂直于该平面的那个轴对应的值设置为0即可，例如：投影到xy平面，即为 (x, y, 0) ，投影到yz平面上，即为 (0, y, z)。若投影到某个轴上，则只保留该轴的值即可，例如：投影到x轴上，即为 (x, 0, 0)，投影到y轴上，即为 (0, y, 0)。
3.判断一个向量的朝向是否和另个向量相似，即两个向量的方向性，如图
图中我们可以认为， 和一样，同时朝向前方，而 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bc%7D 朝向的是的后方。我们可以通过点积的值来判断， > 0 则为同方向（0 <= 夹角 < 90）， < 0 则为反方向（90 < 夹角 <= 180）, = 0 即为垂直（夹角 = 90）。
因为 ，若两个都是非零向量，则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%7C+%5Ccdot++%7C+%5Cvec%7Bb%7D+%7C%3E+0 ，通过三角函数可知：当 https://www.zhihu.com/equation?tex=0+%5Cleqslant+%5Ctheta+%3C+%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D ， https://www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Ctheta+%3E+0 ，因此点积的值 > 0，当 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ctheta%3D%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D ， https://www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Ctheta+%3D+0 ，因此点积的值 = 0，当 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D+%3C%5Ctheta++%5Cleqslant+%5Cpi ， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Ccos%5Ctheta%3C0 ，因此点积的值 < 0。
4.两个向量是否接近，夹角越小，即两个向量越接近。通过上面3提到的，我们只能通过点积的值来判断夹角是钝角还是锐角还是直角，那么如何只通过点积的值来判断夹角大小呢？那就是我们把两个向量的单位向量进行点积。这样就会使 https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%7C+%5Ccdot+%7C+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+1 ，因此 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Chat%7Ba%7D%5Ccdot+%5Chat%7Bb%7D+%3D+cos%5Ctheta ，那么当值为 1 时，代表两向量方向正好相同，当值越来越小时，代表两个向量离得越来越远，当值为 -1 时，代表两向量方向正好相反。因此两个向量的单位向量的点积越接近1，两个向量越接近。
这个性质可以应用在高光的显示上，当人眼看向目标的向量和光折射的向量，它们越接近则高光效果越明显。
向量的叉乘（叉积，向量积，外积）(Cross Product)
两个向量的向量积（叉积，叉乘，外积）是一个向量，记作（或者 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D+%5Cwedge+%5Cvec%7Bb%7D ）
我们将和的夹角记作，且 ，那么叉乘得到的向量的模长为：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C+%3D+%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%7C+%5Ccdot+%7C+%5Cvec%7Bb%7D+%7C%5Ccdot+sin%5Ctheta
方向：与这两个向量所在平面垂直，且遵守右手螺旋定则（四指方向代表旋转的方向，右手四指从转向时，大拇指的方向即向量积的方向）
用矩阵表示：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+0%26+-z_a%26+y_a%5C%5C+z_a%26+0%26+-x_a+%5C%5C+-y_a+%26+x_a%260+%5Cend%7Bbmatrix%7D%5Cbegin%7Bbmatrix%7D+x_b%5C%5C+y_b+%5C%5C+z_b+%5Cend%7Bbmatrix%7D%3D+%5Cleft+%28+y_%7Ba%7Dz_%7Bb%7D-z_%7Ba%7Dy_%7Bb%7D+%2Cz_%7Ba%7Dx_%7Bb%7D-x_%7Ba%7Dz_%7Bb%7D+%2Cx_%7Ba%7Dy_%7Bb%7D-y_%7Ba%7Dx_%7Bb%7D+%5Cright+%29
若为二维向量，即z的值为0，因此 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D%280%2C0%2C+x_%7Ba%7Dy_%7Bb%7D-y_%7Ba%7Dx_%7Bb%7D%29 ，又因为二维没有z轴，所以常写作 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+x_%7Ba%7Dy_%7Bb%7D-y_%7Ba%7Dx_%7Bb%7D ，该常量其实就是 https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C 。
一些运算律：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+-%5Cvec%7Bb%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Ba%7D
https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+k%5Cvec%7Ba%7D+%29%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+k%28+%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%29
https://www.zhihu.com/equation?tex=%28+%5Cvec%7Ba%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D+%29%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D+%3D%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D+%2B+%5Cvec%7Bb%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bc%7D
一些性质：
https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Ba%7D+%3D+%5Cvec%7B0%7D （因为 sin0 = 0）
若两个向量互相平行，则 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%2F%2F+%5Cvec%7Bb%7D+%5Cleftrightharpoons+%5Cvec%7Ba%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%3D+%5Cvec%7B0%7D
https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C 的值是以和为边的平行四边形的面积，同样的以和为边的三角形的面积自然就是 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7B%7C+%5Cvec%7Ba%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7Bb%7D+%7C%7D%7B2%7D （至于为什么，下面第四点解释）
叉乘实际使用场景
1.建立三维坐标中的坐标系，例如给定一个x轴和y轴，我们可以通过x轴叉积y轴来获得z轴
[*]
[*]https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7By%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bx%7D+%3D+-%5Cvec%7Bz%7D
[*]https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7By%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bz%7D+%3D+%5Cvec%7Bx%7D
[*]https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bz%7D%5Ctimes+%5Cvec%7By%7D+%3D+-%5Cvec%7Bx%7D
[*]https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bz%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bx%7D+%3D+%5Cvec%7By%7D
[*]https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bx%7D%5Ctimes+%5Cvec%7Bz%7D+%3D+-%5Cvec%7By%7D
注：若三维坐标系的 那么该坐标系即为右手坐标系。
2.判断一个向量在另一个向量的左侧还是右侧。例如我们给定两个向量https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Ba%7D%3D+%282%2C+3%2C+0%29 ， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7Bb%7D%3D+%283%2C+1%2C+0%29 ，我们想知道在的左侧还是右侧，该如何判定？
根据和的值，我们可以看出它俩都在 xy 平面上，根据叉积的性质我们可以知道得到的向量一定垂直于 xy 平面（和z轴平行或重叠），然后根据右手螺旋法则，若的向量的z的值 > 0 ，那么即表示在的右侧，若z的值 < 0 ，那么即表示在的左侧。
上面的例子我们是从z轴的正方向看向负方向，但是若从负方向看向正方向，那么原本在左边就会变成在右边，因此左右关系和我们的观察方向有关。
因此若我们从z轴正方向看向负方向，若两个向量组成的平面没有平行于xy平面，我们可以先将其投影到xy平面上，然后再计算左右。
3.判断点是否在三角形内部。
其实本质上还是2中的思路，例如上图，我们可以利用 https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BAP%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7BAB%7D ， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BBP%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7BBC%7D ， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BCP%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7BCA%7D 来判断P点是否在，， https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cvec%7BCA%7D 的左侧，若成立，则P点在三角形ABC的内部。
同理可以应用到四边形等多边形中，但是必须夹角小于180度（如下图，ABC>180，因此P点即使在内部，但是却在的右侧， 的左侧）。
这点是三角形光栅化的基础，要判断三角形覆盖了哪些像素，那就需要知道这些像素是否在三角形内部，好给这个像素进行着色。
4.求三角形面积
如下图三角形，CD长度为 h，AC长度为 b，AB长度为 c，AC和AB的夹角为 α 。
我们知道其面积为： https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7Bch%7D%7B2%7D
因为 https://www.zhihu.com/equation?tex=h%3Db%2A%5Csin+%5Calpha
因此 https://www.zhihu.com/equation?tex=S%3D%5Cfrac%7Bcb%5Csin%5Calpha%7D%7B2%7D
而https://www.zhihu.com/equation?tex=cb%5Csin%5Calpha 正是我们向量AC和向量AB叉乘结果的模 https://www.zhihu.com/equation?tex=%7C%5Cvec%7BAC%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7BAB%7D%7C
因此 https://www.zhihu.com/equation?tex=S+%3D+%5Cfrac%7B%7C%5Cvec%7BAC%7D+%5Ctimes+%5Cvec%7BAB%7D%7C%7D%7B2%7D
页:
[1]